Resolução de triângulos

Os elementos fundamentais de um triângulo são os seus lados, os seus ângulos e a sua área, resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Conhecendo-se três entre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência.


Lei dos Senos

Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura ao lado, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:

a
sen(A)
= b
sen(B)
= c
sen(C)
=2R


Demonstração: Para simplificar as notações iremos denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente ao vértice A.

Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C.

Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.


  1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência que correspondem a um mesmo arco BC. Então:

    sen(A')=sen(A)= a
    2R

    isto é,

    a
    sen(A)
    =2R

    Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes

    b
    sen(B)
    = c
    sen(C)
    =2R

  2. Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é dada por A'=pi-A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA'C. Então

    sen(pi-A)= a
    2R
    = sen(pi-A)

    isto é,

    a
    sen(A)
    =2R

    Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes

    b
    sen(B)
    = c
    sen(C)
    =2R

  3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que

    sen(B)= b
    a
    sen(C)= c
    a
     e  sen(A)=sen(pi/2)=1

    Como, neste caso a=2R, temos,

    a
    sen(A)
    = b
    sen(B)
    = c
    sen(C)

Lei dos Cossenos

Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados.

a² = b² + c² - 2bc cos(A)
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
c² = a² + b² - 2ab cos(C)



Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.


  1. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação

    a² = b² + c² - 2bc cos(A)

    recai no teorema de Pitágoras.

    a² = b² + c²

    uma vez que cos(A)=cos(pi/2)=0.


  2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.

    Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:

    a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²) =
    =(h²+x²)+c²-2cx   (Eq.1)

    No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)

    Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:

    a²=b² + c² - 2bc cosA


  3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.

    Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:

    a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) =
    =(h²+x²)+c²+2cx  (Eq.2)

    No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também:

    cos(D)=x/b=cos(pi-A)=-cos(A), então, x = -b cos(A)

    Substituindo estes resultados na equação (Eq.2), obtemos:

    a² = b² + c² - 2bc cos(A)


    As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma

    cos(A)= b²+c²-a²
    2bc
    ,cos(B)= a²+c²-b²
    2ac
    ,cos(C)= a²+b²-c²
    2ab

Área de um triângulo em função dos lados

Existe uma fórmula que permite calcular a área de um triângulo conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é: 2p=a+b+c, então,

S = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]

onde R[z] é a nossa notação para a raiz quadrada de z>0.

A demonstração está em nosso link Fórmula de Heron.


Construída por Anderson L. G. Quilles, Cláudio H. Bitto, Sônia Ferreeira Lopes Toffoli e Ulysses Sodré.