Integral de linha complexa

Seja D um domínio complexo e a função f:D toK contínua. Sejam P e Q pontos do domínio D e uma curva K contida inteiramente em D com extremidades em P e Q. Decompomos a curva K em n partes por meio de pontos z1, z2, ..., zn−1 da curva que não são as extremidades de K, sendo estes pontos escolhidos de modo arbitrário, tal que

P=z0 precedez1 precedez2 precede... precedezn−1 precedezn=Q

onde a relação zi precedezj significa um tipo de ordem dos números complexos zk, indicando que zi está posto antes de zj na curva sob consideração.

Formamos a soma

Sn = n
soma
k=1
f(ck)(zk−zk−1) = n
soma
k=1
f(ck) Δ zk

onde ck são números complexos que pertencem aos segmentos de reta [zk−1,zk], com k=1,...,n e Δ zk=zk−zk−1.

Façamos o número de subdivisões crescer de tal modo que o comprimento da maior corda |Δzk| tenda a zero. Assim, se a soma Sn tender a um limite finito, que denotamos simbolicamente por:

dint Q


P
f(z)dz     ou    dint


K
f(z)dz

este limite será chamado a integral de linha complexa da função f=f(z) ao longo da curva K. Nesse caso, f=f(z) é dita integrável ao longo de K.

Se f é analítica em todos os pontos de um domínio complexo D e K é uma curva contida em D, então f é integrável ao longo da linha K.

Se z=z(t) com a<t<b é uma parametrização da curva K, e a restrição de f ao arco K é uma função contínua g : [a,b] toK definida por g(t)=f(z(t)) então, a integral de g no intervalo [a,b] pode ser escrita na forma

dint b


a
g(t)dt = dint b


a
f(z(t))dz(t) = dint b


a
f(z(t)).z'(t)dt

As duas últimas integrais indicam o método da substituição para o cálculo de integrais de linha complexas.

Exemplo: Calcularemos a integral

I = dint 1+i


0
z.dz

ao longo da parábola K parametrizada por z(t)=t+it² com t in[0,1].

fig
dint 1+i


0
z.dz = dint 1


0
z(t).z'(t)dt = dint 1


0
(1+it²)(1+2it)dt = i

Exemplo: Calcularemos

M = dint


K
*dz

de z=0 a z=4+2i ao longo da curva K definida pela parábola z=t²+it.

As parametrizações da parábola são dadas por x=t² e y=t para t in[0,2].

fig

A integral de linha é:

dint


K
*dz = dint 2


0
*(t)z'(t)dt = dint 2


0
(t²−it)(2t+i)dt = dint 2


0
(2t³−it²+t)dt =10−8i/3

Se f(z(t))=u(t)+i.v(t) é uma função contínua da variável t em [a,b], a integral de linha complexa pode ser expressa em termos de integrais de linha das partes real e imaginária da função f=f(z(t)), onde u(t)=Re[f(z(t))] e v(t)=Im[f(z(t))]. Desse modo

dint


K
f(z) dz = dint


K
(u+iv)(dx+idy) = dint


K
(udx−vdy) + i dint


K
(vdx+udy)

Exemplo: Calcularemos

J = dint


K
dz
z

onde K é a circunferência centrada na origem e raio r. A parametrização da circunferência é z(t) = r[cos(t)+isen(t)] onde 0<t<2pi. Assim:

dint


K
dz
z
= dint 2pi0 r(−sen(t)+ i cos(t)]
r[cos(t)+ i sen(t)]
dt = dint 2pi0 i.dt =2 pii

Outro modo de calcular esta integral é escrever a equação da circunferência na forma exponencial, isto é, z(t)=r eit. Assim dz(t)=i r eit dt com 0<t<2pie a integral será calculada como:

dint


K
dz
z
= dint 2pi0 i r eit
r eit
dt = 2 pii

Propriedades das integrais complexas

  1. Aditividade: Seja f=f(z) e g=g(z) funções contínuas e K uma curva simples, então

    dint


    K
    [f(z)+g(z)]dz = dint


    K
    f(z)dz + dint


    K
    g(z)dz
  2. Múltiplo escalar: Se f=f(z) é uma função contínua, K uma curva simples e μ é um escalar complexo, então

    dint


    K
    (μ f)(z)dz = μ dint


    K
    f(z)dz
  3. Simetria: Se K é uma curva simples parametrizada por z=z(t) com a<t<b, então a curva −K é parametrizada por z=z(−t) com −b<t<−a e além disso

    dint


    −K
    f(z)dz = − dint


    K
    f(z)dz
  4. Decomposição da curva em 2 partes: Se a curva K pode ser decomposta como a reunião de duas curvas justapostas K1 e K2, dizemos que K é uma justaposição de curvas e escrevemos K=K1+K2. Assim, a integral sobre K é a soma das integrais sobre K1 e K2:

    dint


    K1+K2
    f(z)dz = dint


    K1
    f(z)dz + dint


    K2
    f(z)dz
  5. Decomposição da curva em n partes: Se a curva K pode ser decomposta como a reunião de n curvas justapostas K1, K2,..., Kn, dizemos que K é uma justaposição de n curvas e escrevemos K=K1+K2+...+Kn. Assim, a integral sobre K é a soma das integrais sobre K1, K2,..., Kn:

    dint


    K1+...+Kn
    f(z)dz = dint


    K1
    f(z)dz +...+ dint


    Kn
    f(z)dz
  6. Estimativa modular: Se f=f(z) é uma função contínua e K é uma curva simples, então o módulo da integral é dominado pela integral do módulo da função:

    | dint


    K
    f(z) dz| < dint


    K
    |f(z)| |dz|

    Demonstração: Se a curva K é parametrizada por z=z(t), com a<t<b e como:

    dint


    K
    f(z) dz=
    lim
    |P| to0
    n
    soma
    k=1
    f(ck) Δ zk

    onde ck são números complexos que pertencem aos segmentos de reta [zk−1,zk], com k=1,...,n, Δ zk=zk−zk−1 e |P| é comprimento da maior corda |Δ zk|.

    Pela desigualdade triangular

    | n
    soma
    k=1
    f(ck) Δ zk| < n
    soma
    k=1
    |f(ck) Δ zk| = n
    soma
    k=1
    |f(ck)||Δ zk|

    Tomando limites quando |P|to0 em ambos os membros desta equação,

    | dint


    K
    f(z)dz| < dint


    K
    |f(z)| |dz|

Exemplo: Para exemplificar a propriedade (4) sobre a decomposição de curvas, calcularemos

N = dint


K
* dz

de z=0 a z=4+2i ao longo da curva K obtida pela justaposição do segmento de reta ligando z=0 e z=2i, e, do segmento de reta ligando z=2i e z=4+2i.

fig

Decomporemos a curva K em duas partes, K1 e K2, tal que

K1={x(t)=0, y(t)=t, t in(0,2)}     e    K2={x(t)=t, y(t)=2, t in(0,4)}

A integral é dada por:

dint


K
*dz = dint


K1
(x−iy)(dx+idy) + dint


K2
(x−iy)(dx+idy)

que também pode ser escrita como:

dint


K
*dz = dint 2


0
(−it)(i)dt + dint 4


0
(t−2i)dt =8−8i

Exercicios propostos

Para cada caso, calcular a integral complexa de f=f(z) sobre a curva indicada.

Função complexa Curva no plano complexo
f(z)=Re(z) Segmento de reta ligando z=0 a z=2+i.
f(z)=Re(z) Semicircunferência |z|=1, 0<arg(z)<pi
sendo que o caminho inicia em z=1.
f(z)=Re(z) Circunferência |z−a|=R.
f(z)=Im(z) Segmento de reta K ligando z=0 a z=2+i.
f(z)=Im(z) Semicircunferência |z|=1, 0<arg(z)<pi
sendo que o caminho inicia em z=1.
f(z)=Im(z) Circunferência |z−a|=R.
f(z)=|z| Segmento de reta a origem ao ponto z=2−i.
f(z)=|z| Semicircunferência |z|=1, 0< arg(z)< pi
sendo que o caminho inicia em z=1.
f(z)=|z| Semicircunferência |z|=1, −pi/2< arg(z)<pi/2
sendo que o caminho inicia no ponto z=−i.
f(z)=|z| Semicircunferência |z|=R.
f(z)=|z|z* Contorno fechado composto pela semicircunferência
superior |z|=1 e pelo segmento de reta −1<x<1, y=0.

Construída por Sônia Ferreira Lopes Toffoli.