Limite de uma função complexa

Seja z0 um ponto de acumulação de um subconjunto D de C e f:D toC uma função complexa. O número complexo L é o limite de f quando z tende a z0 se, dado qualquer ε>0, existe um número positivo δ>0 sendo δ=δ(ε,z0) tal que se z inD com 0<|z−z0|<δ, então

|f(z)−L| < ε

Denotamos este fato por

lim
ztozo
f(z) = L

Em palavras, a definição acima afirma que, uma função f=f(z) tem limite L quando z está se aproximando de z0, se a distância entre f(z) e L pode ser tomada arbitrariamente pequena desde que z esteja suficientemente próximo de z0.

Observe que, na definição acima não é exigido que a função esteja definida no ponto z=z0 para que exista o limite

lim
ztozo
f(z)

A noção de limite de uma função em um ponto z0 diz respeito ao comportamento da função nos pontos próximos a z0 e não necessariamente no próprio z0.

Exemplos:

  1. Seja f(z)=4z−2. Com a definição de limite, podemos mostrar que

    lim
    zto1
    f(z)

    = lim
    zto1
    (4z-2)

    = 2

    Tomando ε>0, é possível construir δ=ε/4>0 tal que se 0<|z−1|<δ, então

    |(4z−2)−2|<ε

    Realmente,

    |f(z) − 2| = |(4z−2)−2|=|4z−4|=4|z−1| < 4 δ = є

  2. Para provar que quando z to3 tem-se que limz²=9 usando a definição de limites, devemos mostrar que, dado ε>0, existe um δ>0, tal que se 0<|z−3|<δ, então:

    |z²−9| < ε

    Vamos trabalhar de trás para a frente e considerar que esta última desiqualdade seja verdadeira, realizando uma análise envolvendo ε. Assim:

    |z²−9| = |(z−3)(z+3)| < ε

    Como esperamos que δ seja arbitráriamente pequeno, podemos supor 0 < δ<1 e assim escrever

    0 < |z−3| < δ<1

    Pela desigualdade triangular e pela desigualdade acima, temos

    |z+3| = |(z−3)+6| < |(z−3)|+6 < 1+6 = 7

    o que implica

    |(z−3)(z+3)| < 7 δ

    Escolhendo δ =min{1,ε/7 }, obteremos para 0<|z−3|<δ que

    |z²−9| < ε

    ou seja

    lim
    zto3
    z²=9
  3. Quando z toi observamos que o limite lim z²=−1, e isto significa que quando z está bastante próximo de i, os valores de f(z) estão muito próximos de −1. Suspeitamos então que

    lim
    zto1
    f(z)=−1

    Para provar isto, devemos mostrar que, dado ε>0, existe um δ>0, tal que se 0<|z−i|<δ, então:

    |z²−(−1)| < ε

    Vamos trabalhar de trás para a frente e considerar que esta última desiqualdade seja verdadeira, realizando uma análise envolvendo ε. Assim:

    |z²−(−1)| = |(z−i)(z+i)| < ε

    Como esperamos que δ seja arbitrariamente pequeno, supomos 0<δ<1 e assim escrever

    0 < |z−i| < δ<1

    Pela desigualdade triangular e pela desigualdade acima, obtemos

    |z+i| = |(z−i)+2i| < |(z−i)|+2 < 1+2 = 3

    o que implica

    |(z−i)(z+i)| < 3 δ

    Escolhendo δ=min(1, ε/3), obtemos para 0<|z−i|<δ que

    |z²+1| < ε

    ou seja

    lim
    ztoi
    f(z) = lim
    ztoi
    z² = −1

    fig
  4. A função f(z)=(z²+1)/(z−i) está definida para z neqi, mas

    lim
    ztoi
    z²+1
    z−i
    = 2i

    Como para z neqi temos

    f(z) = z²+1
    z−1
    = (z+i)(z−i)
    z−i
    = z+i

    e |f(z)−2i|=|z+i−2i|=|z−i|, então para todo ε>0, obteremos que 0<|z−i|<δ implica que

    |f(z)−2i| = |z−i| < ε

    bastando tomar δ=ε

Função limitada no plano complexo

Diz-se que uma função f: D toC é limitada, se o conjunto imagem f(D) é limitado. Dizemos que f é limitada nas vizinhanças de z0, se existe um disco aberto ou fechado centrado em f(z0), contendo todos os pontos próximos a f(z0).

A relação entre função limitada e limite da função

Nem toda função limitada sobre um conjunto possui limite em pontos deste conjunto.

Exemplo: Mostraremos no exemplo (2) que segue, que a função

f(z)= Im(z²)
|z²|

definida para z neq0, não possui limite quando z tende a zero mas é claro que é limitada pois 0 < f(z)<1.

Limites no infinitos e limites infinitos

Seja f:D toC. Afirmamos que

  1. f=f(z) tem limite finito L quando z to∞ se, dado qualquer ε>0, existe um M>0 tal que |f(z)−L|<ε se |z|>M.

  2. f=f(z) tende a ∞ quando z toz0 se, dado qualquer N>0, existe um δ>0 tal que |f(z)|>N se |z−z0|<δ.

  3. f=f(z) tende a ∞ quando z to∞ se, dado qualquer N>0, existe um M>0 tal que |f(z)|>N e |z|>M.

Unicidade do limite de uma função complexa

Se o limite lim f(z) existe quando z toz0, ele deve ser único.

Demonstração: Devemos mostrar que quando z toz0, se tivermos que lim f(z)=A e lim f(z)=B então A=B.

Pela definição de limite, dado ε>0, devemos obter δ>0 tal que se |z−z0|<δ então

|f(z)−A| < ε/2

e

|f(z)−B| < ε/2

Assim

|A−B|=|A−f(z)+f(z)−B|<|A−f(z)|+|f(z)−B| < ε/2 + ε/2 = ε

Isto significa que |A−B| é menor que qualquer número positivo ε suficientemente pequeno, logo deve ser zero. Segue que A=B.

Teoremas sobre limites

Se lim f(z)=A e lim g(z)=B quando z toz0, então

  1. lim [f(z)+g(z)] = lim f(z) + lim g(z) = A+B

  2. lim [f(z)−g(z)] = lim f(z) − lim g(z) = A−B

  3. lim [f(z).g(z)] = lim f(z) . lim g(z) = A.B

  4. lim [f(z)/g(z)] = [lim f(z)]/[lim g(z)] = A/B, desde que B neq0.

Demonstração:

  1. Pela definição de limite devemos mostrar que para qualquer ε>0 dado, existe δ>0 tal que se 0<|z−z0|<δ, então

    |[f(z)+g(z)] − [A+B]| < ε

    Temos que

    |[f(z)+g(z)]−[A+B]| = |[f(z)−A]+[g(z)−B]|<|f(z)−A|+|g(z)−B|

    Como lim f(z)=A e lim g(z)=B, dado ε>0, existe δ1>0 tal que se 0<|z−z0|<δ1 então e

    |f(z)−A| < ε/2

    existe δ2>0 tal que se 0<|z−z0|<δ2

    |g(z)−B| < ε/2

    A partir destas considerações, concluímos que

    |[f(z)+g(z)]−[A+B]| < ε/2 + ε/2 = ε

    desde que 0<|z−z0|<δ, sendo δ=min(δ12)

  2. Demonstração analoga ao ítem anterior com o limite de [f(x)+(−g(x)].

  3. Temos que

    |f(z)g(z)−AB| = |f(z)[g(z)−B]+B[f(z)−A]|
      < |f(z)||g(z)−B|+|B||f(z)−A|
      < |f(z)||g(z)−B|+(|B|+1)|f(z)−A|

    Assim,

    |f(z)g(z)−AB|<|f(z)||g(z)−B|+(|B|+1)|f(z)−A|      (1)

    Como lim f(z)=A, dado ε=1, existe δ1>0 tal que se 0<|z−z0|<δ1, então

    |f(z)−A|<1

    Assim

    |f(z)−A| > |f(z)|−|A|

    isto é,

    1 > |f(z)|−|A|

    ou seja

    |f(z)|<|A|+1

    isto é, |f(z)|<k, onde k é uma constante positiva.

    Como lim g(z)=B, dado ε>0, existe δ2>0 tal que se 0<|z−z0|<δ2 então

    |g(z)−B| < ε/(2k)

    Como lim f(z)=A, dado ε>0, existe δ3>0 tal que se 0<|z−z0|<δ3, então

    |f(z)−A| < ε/(2|B|+2)

    Usando estes resultados em (1), obtemos

    |f(z)g(z)−AB| < k ε/(2k) + (|B|+1).ε/(2|B|+2) = ε

    onde 0<|z−z0|<δ e δ=min(δ123)

  4. Pelo item anterior, basta mostrar que lim 1/g(z)=1/B pois,

    lim
    ztoz0
    f(z)
    g(z)
    = lim
    ztoz0
    f(z) . 1
    g(z)
    =A . 1
    B
    = A
    B

    Dado ε=|B|/2, existe δ2>0 tal que se 0<|z−z0|<δ2 então

    |g(z)−B| < |B|/2

    Então

    | 1
    g(z)
    1
    B
    | = | B−g(z)
    g(z).B
    | < 2 |B−g(z)|
    |B|²

    Como por hipótese, lim g(z)=B, dado ε>0, existem δ1>0 tal que

    |g(z)−B| < ε

    desde que 0<|z−z0|<δ1.

    Escolhendo δ=min(δ12), obteremos

    | 1
    g(z)
    1
    B
    | <
    |B|²

    sempre que 0<|z−z0|<δ, o que completa a demonstração.

Exemlos: Com este teorema podemos calcular diretamente os limites.

  1. Para calcular o limite

    lim
    zto3
    3z²−4z+3

    aplicamos diretamente as propriedades 1, 2 e 3 do último teorema.

    lim
    zto3
    3z²−4z+3 = 3 lim
    zto3
    z2 + lim
    zto3
    z −4 lim
    zto3
    z + lim
    zto3
    3 = 18
  2. Dada a função f(z)=(z²−1)/(z−1), observamos que ela não está definida para z=1, embora esteja definida para z neq1

    lim
    zto1
    z²−1
    z−1
    = lim
    zto1
    (z−1)(z+1)
    z−1
    = lim
    zto1
    (z−1)(z+1)
    z−1
    = lim
    zto1
    z+1=2

Decomposição de uma função e a relação com o limite

Seja a função w=f(z) com domínio D. Decompondo esta função complexa w em suas partes real e imaginária, teremos:

w = u(x,y) + i v(x,y)

sendo u=u(x,y) e v=v(x,y) funções reais, definidas no subconjunto D, agora pensado como um conjunto de R².

Deste modo, uma condição necessária e suficiente para que

lim
ztoz0
f(z) = L = a+bi

com z0=x0 + i y0, é que, a e b sejam, respectivamente, os limites das funções reais u=u(x,y) e v=v(x,y) em z0=(x0,y0), isto é:

lim
ztoz0
f(z) = lim
ztoz0
u(x,y) + i lim
ztoz0
v(x,y) = a + bi = L

Esta forma de decomposição é utilizada para mostrar que algumas funções complexas não possuem limite em algum ponto, isto é feito consideranddo que o limite quando existe é único, então se exibirmos para uma dada função dois limites diferentes quando tomamos caminhos diferentes estaremos mostrando que o limite não existe.

Exemplos

  1. Para mostrar que

    lim
    zto2i
     (2x+iy²)=−4i

    consideraremos z=x+iy. Desse modo, z0=0+2i e

    lim
    zto2i
    (2x+iy²) = lim
    xto0
    2x + lim
    yto2
    iy² = −4i
  2. Quando z to0, não existe o limite lim z */z.

    Para que o limite exista, ele não pode depender da maneira como z se aproxima do ponto 0. Suponha que z to0 ao longo do eixo OX. Assim, y=0, z=x+iy=x e z *=x−iy=x, logo, o limite fica mais simples

    lim
    xto0
    x
    x
    =1

    Consideremos agora z to0 ao longo do eixo OY. Assim, x=0, z=x+iy=iy e z *=x−iy=−iy, logo, o limite pode ser simplicado a

    lim
    yto0
    −iy
    iy
    =−1

    Pelo Teorema da unicidade do limite, independente da maneira como z se aproxima de 0, o limite deveria ser o mesmo, e nesse caso, não existe o limite.

  3. Não existe o limite

    lim
    zto0
    Im(z²)
    |z²|

    Para que o limite exista, ele não pode depender da maneira como z se aproxima do ponto 0. Suponha que z to0 ao longo do eixo OX. Assim, y=0, z=x+iy=x e

    Im(z²)
    |z²|
    = (2xy)
    x²+y²
    = 0
    = 0

    logo, o limite é nulo.

    Consideremos agora z to0 ao longo da reta y=x. Assim,

    Im(z²)
    |z²|
    = (2x²)
    x²+x²
    = 1

    logo, o limite é igual a 1.

    Pelo Teorema da unicidade do limite, independente da maneira como z se aproxima de 0, o limite deveria ser o mesmo, e nesse caso, não existe o limite.

  4. Mostraremos que

    lim
    zto2i
    z
    z−2i
    = ∞

    Precisamos mostrar que para z suficientemente próximo de 2i, |f(z)| torna-se muito grande, em linguagem matemática podemos escrever

    Para todo N>0, existe um δ>0 tal que se |z−2i|<δ então

    | z
    z−2i
    | > N

    Primeiramente, analisemos como se comporta |f(z)|, sujeitando z à condição 1<|z|<3, não perderemos nada com esta restrição, pois pretendemos que o número z esteja muito próximo de 2i

    |f(z)| = | z
    z−2i
    | = |z|
    |z−2i|
    > 1
    |z−2i|

    Dado N>0, |f(z)| será maior que N se

    1
    |z−2i|
    > N

    ou seja, 0<|z−2i|<1/N. Concluímos então que δ < 1/N, mas devemos também exigir que 1<|z|<3, sendo assim δ também deve ser menor que 1, isto é, δ=min(1, 1/N).

    fig

  5. Mostraremos que

    lim
    zto
    4iz−3
    3z−i
    = 4i
    3

    Devemos mostrar que a distância entre f(z) e 4i/3 será arbitráriamente pequena para valores de |z| suficientemente grandes, para isto devemos garantir que, dado qualquer ε>0, existe M>0 tal que se |z|>M, então

    | 4iz−3
    3z−i
    4i
    3
    | <ε

    Como

    | 4iz−3
    3z−i
    4i
    3
    | = | −13
    9z−3i
    | = 13
    |9z−3i|
    < 13
    9|z|−3

    esta última desigualdade é facilmente verificada se observarmos que

    |9z−3i| > ||9z|−|3i|| > 9|z|−3

    Supondo que |z|>3, esperamos que M seja suficientemente grande, assim

    | 4iz−3
    3z−i
    4i
    3
    | < 13
    9|z|−3
    < 13
    (8|z|+|z|)−3
    < 13
    8|z|

    e isto será menor que ε se |z|>13/(8ε), escolhendo M tal que

    M = max(3, 13/(8ε))

    obtemos

    | 4iz−3
    3z−i
    4i
    3
    | < ε

    desde que |z|>M.

Exercícios propostos

  1. Aplicando a definição de limite provar que, quando z to2, lim 3x−5i=6.

  2. Aplicando a definição de limite provar que, quando z to3, lim (z²−9)/(z−3) = 6.

  3. Provar que lim 5z=5 quando z to1 e interpretar geometricamente a relação entre ε e δ, usando o fato que δ=ε/5.

  4. Provar que lim z²=4,001 é falsa, quando z to2, escolhendo um valor apropriado para ε para mostrar que a expressão matemática não é correta.

  5. Calcular o limite lim (z 4−81)/(z²−9), quando z to3.

  6. Calcular o limite lim (z²−2z−8)/(z²+2z−24), quando z to4.

  7. Calcular o limite lim ([1+z]1/2−[1−z]1/2)/z, quando z to0.

Construída por Sônia Ferreira Lopes Toffoli.