Introdução

Em um espaço vetorial, saber realizar mudanças de bases nos ajuda a simplificar certos problemas. Nesta página, apresentamos inicialmente alguns exemplos de situações onde podemos utilizar mudanças de bases. Trabalhamos com mudanças de bases em espaços bidimensionais e n-dimensionais.


Mudança de base

Existe uma ligação muito forte entre transformações lineares e bases. A descrição de uma transformação linear por meio de seus valores em uma base (ver glossário) muda com uma mudança de base.

Em alguns problemas práticos existe a necessidade de mudar de base e calcular as componentes de um vetor arbitrário correspondente a uma nova base.

Em geral, aparecem matrizes complicadas (relacionadas a bases) na resolução de problemas e devemos simplificar as mesmas. Se usarmos bases onde as matrizes são diagonalizáveis (ver glossário) simplificaremos muito tais problemas.

Usaremos mudanças de bases para transformar uma dada base em uma outra base mais simples, como por exemplo a base canônica.

  1. A transformação linear T:R²toR² definida por T(x,y)=(x,y), está associada à matriz [T] em relação à base canônica em R² dada por

    [T] =
    1 0
    0 1
  2. A transformação linear T:R²toR² definida por T(x,y)=(2x,2y) está associada à matriz [T] em relação à base canônica em R²:

    [T] =
    2 0
    0 2
  3. A transformação T:R²toR² definida por T(x,y)=(2x,3y) é linear e está associada à matriz [T] em relação à base canônica em R²:

    [T] =
    2 0
    0 3
  4. A transformação T:R²toR² definida por T(x,y)=(2x+3y,4x−5y) está associada à matriz em relação à base canônica em R²:

    [T] =
    2 3
    4 −5
  5. Seja a transformação T:R²toR² definida por T(x,y)=(ax+by,cx+dy). A matriz [T] associada a esta transformação em relação à base canônica em R² é dada por:

    [T] =
    a b
    c d
  6. Sejam e1=(1,0) e e2=(0,1) vetores básicos canônicos em R² e T:R²toR² a transformação linear de rotação (sentido anti-horário) de um ângulo t em torno da origem do sistema.

    T(e1) = +cos(t) e1 +sen(t) e2
    T(e2) = −sen(t) e1 +cos(t) e2

    Vejamos uma situação gráfica:

    fig

    A matriz A relativamente a esta base é

    [T] =
    cos(t) −sen(t)
    sen(t) cos(t)

A resolução de problemas em Física torna-se bem mais simples se o referencial que descreve o movimento for escolhido de forma conveniente.

Por exemplo, em um problema cuja trajetória do corpo se realiza no plano xy segundo a equação da elipse

x² + 4 y² + 4 x − 12 y = 51

a descrição do movimento torna-se bastante simplificada se trabalharmos com a elipse tendo os eixos principais apoiados sobre os eixos OX e OY.

fig

O uso de mais de um sistema de coordenadas é muito comum em aplicações, e neste caso, é geralmente necessário conhecer as relações entre as coordenadas de um vetor ou ponto dados nos vários sistemas de coordenadas. Como uma base é a generalização para espaços vetoriais de um sistema de coordenadas, devemos considerar a seguinte situação:

Ao mudarmos a base de um espaço vetorial U, de uma base antiga B1 para uma base nova B2, que relação vai existir entre a antiga matriz de coordenadas (v)B1 de um vetor u e a nova matriz de coordenadas (v)B2?

Resolveremos este problema para espaços bidimensionais e posteriormente para espaços n-dimensionais.


Mudança de base em espaços R2

Sejam B1={e1,e2} e B2={f1,f2} duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V. B1 é a base antiga e B2 é a base nova.

Um vetor v, na base antiga, possui coordenadas x e y, isto é:

[v]B1 = (x,y) = x e1 + y e2

Queremos escrever o vetor v na nova base B2 e para isto, devem existir escalares w e z, tal que

[v]B2 = (w,z) = w f1 + z f2

Como f1 e f2 são combinações lineares de e1 e de e2, existem escalares a11, a12, a21 e a22 tais que:

f1 = a11 e1 + a12 e2
f2 = a21 e1 + a22 e2

Reescrevemos o vetor na nova base em função das combinações lineares apresentadas acima.

[v]B2 = w f1 + z f2
  = w (a11.e1 + a12.e2) + z (a21.e1 + a22.e2)
  = (w a11 + z a21).e1 + (w a12 + z a22).e2
  = x.e1 + y.e2

donde segue um sistema de equações.

w a11 + z a21 = x
w a12 + z a22 = y

Se tomarmos T como a transposta da matriz dos escalares a11, a12, a21 e a22, denotada por Tt, e escrevermos

Tt =
a11 a12
a21 a22

o sistema acima pode ser escrito na forma matricial

a11 a21
a12 a22
.
w
z
=
x
y

ou simplesmente

T .
w
z
=
x
y

ou ainda,

[T]B1B2 . [v]B2 = [v]B1

O cálculo feito através da matriz de mudança de base é vantajoso quando se trabalha com muitos vetores, pois neste casa evitaríamos a resolução de um sistema de equações para cada vetor.

Observação: Este teorema foi demonstrado em 1888.

Exemplo (Mudança de base no espaço R2): Consideremos as bases B1={(2,7),(3,−1)} e B2={(1,0),(0,1)} do espaço vetorial R². Para obter a matriz de mudança de base denotada por [T]B1B2, tomaremos

[T]B1B2 =
a11 a21
a12 a22

Inicialmente podemos escrever

(1,0) = a11 (2,7) + a21 (3,−1)

o que significa que

(1,0) = (2 a11 + 3 a21, 7 a11 − 1 a21)

e obteremos o seguinte sistema

2 a11 + 3 a21 = 1
7 a11 − 1 a21 = 0

Resolvendo o sistema, obtemos a11=1/23, a21=7/23, a12=3/23 e a22=−2/23, logo

[T]B1B2 =
1/23 3/23
7/23 −2/23

Por exemplo, podemos usar esta matriz para obter um vetor u na base B1 como u=(1,2). Realmente

(
1
2
)B1 = [T]B1B2 . (
1
2
)B1 =
1/23 3/23
7/23 −2/23
. (
1
2
) =
7/23
3/23

Ou seja,

(1,2) = (7/23) (2,7) + (3/23) (3,−1)

Exemplo: Consideremos as bases B1={(1,0),(0,1)} e B2={(1,3),(−2,1)} do espaço vetorial R². Para obter a matriz de mudança da base B1 para a base B2, denotada por [T]B1B2, tomaremos esta matriz como:

[T]B1B2 =
a11 a21
a12 a22

Tomando v1=(1,3) e v2=(−2,1), poderemos escrever

v1 = (1,3) = a11 (1,0) + a21 (0,1)

significando que (1,3)=(a11,a21), assim a11=1 e a21=3.

Analogamente, obtemos

v2 = (−2,1) = a12 (1,0) + a22 (0,1)

ou seja, (−2,1)=(a12,a22). Desse modo a12=−2 e a22=1, logo:

[T]B1B2 =
a11 a21
a12 a22
=
1 3
−2 1

Usamos esta matriz de mudança de base para obter o vetor u=(1,8) na base B1. Realmente,

(
1
8
)B2 = [T]B1B2 . (
1
8
)B1 =
1 3
−2 1
. (
1
8
) = (
25
6
)

A expressão acima garante que podemos escrever

1
8
= 25
1
3
+ 6
−2
1

Mudança de base em espaços Rn

Sejam B1={u1,...,un } e B2={v1,...,vn }, respectivamente, uma base ordenada antiga e uma base ordenada nova, para o mesmo espaço vetorial W. Dado um vetor v inW, podemos escrevê-lo na base antiga, cujas coordenadas são x1,...,xn do seguinte modo:

[v]B1 =
x1
...
xn
= x1 u1 + ... + xn un

Analogamente, podemos escrever v na nova base B2. Para isto, devem existir escalares y1,...,yn tal que:

[v]B2 =
y1
...
yn
= y1 v1 + ... + yn vn

Como {u1,...,un} é uma base de W, podemos escrever cada vetor vi como combinação linear dos uj, ou seja,

v1 = a11 u1 + a21 u2 +...+ ai1 ui +...+ an1 un
v2 = a12 u1 + a22 u2 +...+ ai1 ui +...+ an2 un
    ...
vj = a1j u1 + a2j u2 +...+ aij ui +...+ anj un
    ...
vn = a1n u1 + a2n u2 +...+ ain ui +...+ ann un

Reescreveremos o vetor na nova base em função das combinações lineares apresentadas acima:

v = y1 v1 +...+ yn vn
  = y1 (a11 u1 + a21 u2 +...+ an1 un) +...+ yn (a1n u1 + a2n u2 +...+ ann un)
  = (a11y1+...+ a1nyn)u1 +...+ (an1y1 +...+ annyn)un

Como v=x1.u1+...+xn.un e como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos:

x1 = a11y1 + a12y2 +...+ a1nyn
...   ...
xn = an1y1 + an2y2 +...+ annyn

Que pode ser expresso na forma matricial

a11 ... a1n
... ... ...
an1 ... ann
.
y1
...
yn
=
x1
...
xn

Seja M a matriz dos escalares a11,...,a22. Denotaremos por T a transposta da matriz M, isto é, Mt = T.

Assim, o sistema pode ser escrito como

T .
y1
...
yn
=
x1
...
xn

Ou ainda,

T . [v]B2 = [v]B1

Referências bibliográficas

  1. Carl Boyer. História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo. Pag.424-427. 1974.

  2. Howard Eves. Introdução à História da Matemática. 3a.ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.

Construída por Carolina da Silva Gonçalves e Ulysses Sodré.