Aplicação

Dentre todas as relações em um certo produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto que é muito exigente mas que produz resultados de grande valor na Matemática. Este conceito é denominado função.

Se A e B são dois conjuntos não vazios, uma aplicação f no produto cartesiano A×B é uma relação em A×B, que, para cada xinA, existe yinB tal que (x,y)inf,

fig

e, além disso, se (x,y1)inf e (x,y2)inf, então y1=y2.

fig

Uma notação bastante comum para uma aplicação f definida no produto cartesiano A×B é f:AtoB.

Observação: O primeiro ítem da definição acima declara que todos os elementos de A devem estar relacionados com elementos de B e o segundo ítem garante que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento em B.

Exemplo: Nem toda relação no produto cartesiano R² é uma aplicação em R², como o conjunto K={(x,y)inR²:x²+y²=1}. Graficamente, temos:

fig

Em textos antigos, a palavra função era usada de uma forma bastante livre no lugar de aplicação, mas na literatura atual a palavra aplicação passou a ter outros nomes como: operador, transformação, funcional,... e houve a necessidade de restringir a palavra função exclusivamente às situações em que o conjunto B é um subconjunto do conjunto R dos números reais.

Elementos de uma aplicação

Seja f uma aplicação em A×B, denotada por f:AtoB. O gráfico de f, às vezes usado como a definição de função, é definido por:

graf(f) = { (x,y)inA×B: xinA, yinB, y=f(x) }

O conjunto A recebe o nome de domínio de f, denotado por Dom(f). O conjunto B recebe o nome de contradomínio de f, denotado por Codom(f). A imagem de f, denotada por texto Im(f) é o conjunto:

Im(f) = {yinB: existe xinA tal que y=f(x) }

Exemplo: A função quadrática f:Rto[0,∞) pode ser escrita na forma:

f = { (x,y)inR×[0,∞): xinR, yinR, y=x² }

ou na forma f:Rto[0,∞) definida por f(x)=x² sendo Dom(f)=R, Codom(f)=Im(f)=[0,∞).

Exercícios:

  1. Sejam A={1,2,3,4,5} e B={0,3,8,15,20}. Verificar se a relação f em A×B, definida por (a,b)inf se, e somente se, b=a²−1, é uma aplicação.

  2. Verificar se a relação f:QtoQ definida por f(m/n)=mn é uma aplicação.

    (Dica: 1/2=3/6 mas,...)

  3. Para A=1,2,3 e B={a,b,c,d}, seja a relação g:A×BtoB×A, definida por g(x,y)=(y,x). Mostrar que g é uma aplicação.

Restrição de uma aplicação

Podemos restringir o domínio de uma função f:AtoB a um subconjunto S de A de modo que a função restrita ao conjunto S, denotada por f|S:StoB seja coincidente com a função original sobre o conjunto S, isto é, para cada xinS tem-se que: f|S(x)=f(x).

Exemplo: Podemos definir a restrição da função f:RtoR definida por f(x)=x² ao conjunto [0,∞) de modo que:

f|[0,∞): [0,∞) toR, f(x)=x²

Graficamente, temos:

fig

Extensão de uma aplicação

Podemos estender uma função f:AtoB a um conjunto M contendo o conjunto A de modo que a função estendida ao conjunto M, denotada por F:MtoB deva ser coincidente com a função original sobre o conjunto A, isto é, para cada, xinA tem-se que F(x)=f(x).

Exemplo: Consideremos a função f:R−{0}toR definida por f(x) = sen(x)/x. Esta função não tem sentido para x=0, mas podemos estender esta função a uma forma bastante natural a todo o conjunto R dos números reais, tomando f(0)=1. Esta forma é comumente utilizada em Análise Matemática.

fig

Dada uma aplicação f:AtoB que associa a cada elemento de A um único elemento de B, esta definição não obriga que todos os elementos de A tenham imagens distintas ou mesmo que todos os elementos de B sejam imagens de elementos de A.

Aplicação injetiva

Mesmo que aneqb pode ocorrer que f(a)=f(b). Quando elementos distintos de A possuem imagens distintas, dizemos que a aplicação é injetora. A definição seguinte estabelece este fato.

Uma aplicação f:AtoB é injetiva, injetora ou unívoca, se: aneqb implica que f(a)neqf(b). Algumas vezes este tipo de aplicação é denominada 1-1 (lê-se um-a-um).

Exemplo: A função f:RtoR, definida por f(x)=x² não é injetiva, pois f(−2)=f(2), mas a função f:[0,∞)to[0,∞) definida por f(x)=x² é injetiva.

fig

Teorema: Seja f:AtoB uma aplicação. f é injetora se, e somente se, f(a)=f(b) implica que a=b.

Demonstração: São equivalentes as proposições lógicas

pois a proposição lógica ptoq é equivalente à proposição lógica q'top'.

Aplicação sobrejetora

Pode ocorrer que algum elemento de B não seja imagem de um elemento de A. Temos uma outra definição.

Dizemos que a aplicação f:AtoB é sobrejetiva, sobre ou sobrejetora, se todos os elementos de B são imagens de elementos de A, ou seja, para todo binB existe ainA tal que f(a)=b, o que significa que f(A)=B.

Exemplo: A função f:RtoR, definida por f(x)=x² não é sobrejetiva, pois não existe xinR tal que f(x)=−2, mas f:[0,∞)to[0,∞) definida por f(x)=x² é sobrejetiva.

fig

Teorema: Seja f:AtoB uma aplicação. f é sobrejetora se, e somente se, para todo binB, a equação f(x)=b tem pelo menos uma solução em A.

A demonstração é imediata, pois com o teorema, temos duas maneiras para garantir que f é sobrejetiva.

Aplicação bijetora

Uma aplicação f:AtoB é denominada bijetiva, bijetora ou uma correspondência biunívoca, se f é injetiva e sobrejetiva

Exemplo: A função f:RtoR, definida por f(x)=x² não é bijetiva, mas a função f:[0,∞)to[0,∞) definida por f(x)=x² é bijetiva.

Exemplo: A aplicação f:R−{2}toR−{3} definida por f(x)=(3x−1)/(x−2) é injetora pois, se f(a)=f(b) então (3a−1)/(a−2)=(3b−1)/(b−2) e daí segue que a=b. f também é sobre pois se f(x)=b, então (3x−1)/(x−2)=b, de onde segue que se b neq3 então x=(2b−1)/(b−3). Finalmente, segue que f é bijetora pois é injetora e sobrejetora

Observação sobre a palavra sobre: Afirmar que f:AtoB é uma aplicação injetiva sobre o conjunto B, é o mesmo que afirmar que f é bijetiva

Exercícios:

  1. Mostrar que f:RtoR, definida por f(x)=3x+2 é bijetora.

  2. Mostrar que é bijetora a aplicação afim f:RtoR tal que f(x)=ax+b, para a neq0.

  3. Mostrar que f:RtoR definida por f(x)=2x²+4x−1 não é sobrejetora, pois não existe x em R tal que f(x)=−4.

  4. Mostrar que funções reais de segundo grau da forma f(x)=ax²+bx+c não são injetoras e nem mesmo sobrejetoras, dependendo do domínio e do contradomínio destas.

    Dica 1: Para mostrar que f(x)=ax²+bx+c com aneq0, não é injetora, basta obter o cálculo de f(−(b)/(2a)+r) e f(−(b)/(2a)−r).

    Dica 2: Para mostrar que f não é sobrejetiva, vamos supor que a>0 e tentar obter o número real cuja imagem é (−b²+4ac)/(4a)−1. Se a<0, calcule uma pré-imagem de (−b²+4ac)/(4a)+1.

Composição de aplicações

Sejam as aplicações f:AtoB e g: BtoC. Definimos a aplicação composta gof:AtoC entre g e f, nesta ordem, por (gof)(x)=g(f(x)).

fig

Uma outra forma geométrica para a composta das aplicações f e g, está ilustrada na figura:

fig

Exemplo: Sejam f:RtoR definida por f(x)=2x e g:RtoR definida por g(y)=y². Definimos a composta gof:RtoR por:

(gof)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)² = 4x²

Aplicação identidade

A identidade I:AtoA é uma das mais importantes aplicações da Matemática, definida para todo ainA, por I(a)=a. Quando é importante indicar o conjunto X onde a identidade atua, a aplicação identidade I:XtoX é denotada por IX.

Propriedades das aplicações compostas

  1. A composição de aplicações não é comutativa, isto é, em geral: fog neqgof.

  2. A composição de aplicações é associativa, isto é, (fog)oh = fo(goh).

  3. A composição de aplicações possui elemento neutro, isto é: foI=Iof=f

  4. Se f e g são aplicações injetivas, então a composta gof é injetiva.

  5. Se f e g são aplicações sobrejetivas, então a composta gof é sobrejetivas.

  6. Se f e g são aplicações bijetivas, então a composta gof é bijetiva.

Aplicações inversas

Inversa à esquerda: Sejam as aplicações f:AtoB e g:BtoA. Diz-se que g é uma inversa à esquerda para f se gof=IA, isto é, para todo ainA:

(gof)(a)=a

Inversa à direita: Sejam as aplicações g:BtoA e f:AtoBaplicação. Diz-se que g é uma inversa à direita para f se fog=IB, isto é, para todo binB:

(fog)(b)=b

Inversa: Uma aplicação f:AtoB possui inversa g:BtoA se, g é uma inversa à esquerda e também à direita para f. Isto significa que, para todo ainA e para todo binB:

(fog)(a)=IA(a)     e    (gof)(b)=IB(b)

Notação: A inversa de f é denotada por g=f −1. Demonstra-se que, se a inversa g=f −1 existe, ela é única e que a inversa da inversa de f é a própria aplicação f, isto é:

(f −1)−1=f

Imagem um conjunto por uma aplicação

A imagem (direta) de um conjunto A subsetX pela aplicação f:XtoY, é definida por:

f(A) = { f(a): ainA }

Propriedades da imagem direta: Sejam f:XtoY uma aplicação, AsubsetX e BsubsetX. Então:

  1. Se A neqØ então f(A) neqØ.

  2. f({x})={f(x)} para todo x inX.

  3. Se A subsetB, então f(A) subsetf(B).

    Demonstração: Se yinf(A), então existe xinA tal que y=f(x)inf(A). Como por hipótese, AsubsetB, então xinB, logo y=f(x)inf(B).

  4. f(A cupB)=f(A) cupf(B).

    Demonstração: winf(A cupB), sse, existe xinA cupB tal que w=f(x), sse, xinA ou xinB tal que f(x)inf(A) ou f(x)inf(B), sse, w=f(x)inf(A) cupf(B).

  5. f(A capB) subsetf(A) capf(B).

    Demonstração: Se zinf(AcapB), então existe xin(AcapB) tal que f(x)=z. Assim xinA e xinB e temos que f(x)inf(A) e f(x)inf(B), logo zinf(A) e zinf(B), assim zinf(A)capf(B).

Observação: Existem aplicações para as quais f(A capB) neqf(A) capf(B).

Imagem inversa por uma aplicação

A imagem inversa de um conjunto W subsetY pela aplicação f:XtoY, é definida por

f −1(W) = { xinX: f(x)inW }

Propriedades da imagem inversa: Sejam f:XtoY uma aplicação, U subsetY e V subsetY. Então:

  1. f −1(Ø)=Ø.

  2. Se U subsetV então f −1(U) subsetf −1(V).

    Demonstração: Se xinf −1(U), segue que f(x)inU. Como UsubsetV, então f(x)inV. Desse modo xinf −1(V).

  3. f −1(U capV)=f −1(U) capf −1(V)

    Demonstração: xinf −1(U capV), é equivalente a, f(x)in(UcapV), que é equivalente a, f(x)inU e f(x)inV, que equivale a, xinf −1(U) e xinf −1(V), se, e somente se, xinf −1(U) capf −1(V).

  4. f −1(U cupV) = f −1(U) cupf −1(V).

    Demonstração: xinf −1(U cupV), sse, f(x)in(UcupV), sse, f(x)inU ou f(x)inV, sse, xinf −1(U) ou xinf −1(V), sse, xinf −1(U) cupf −1(V).

  5. f −1(Vc)=[f −1(V)] c

    Demonstração: xinf −1(Vc), sse, f(x)inVc, sse, f(x) não pertence a V, sse, x não pertence a f −1(V), sse, xin[f −1(V)] c.

  6. Se U subsetV então f −1(VU)=f −1(V)−f −1(U).

    Demonstração: Como VU=V capUc, segue pela relação do ítem (4) que

    f −1(VU) = f −1(V capUc) = f −1(V) capf −1(Uc)

    Pelo ítem (5), segue que:

    f −1(VU) = f −1(V) cap[f −1(U)] c = f −1(V)−f −1(U)

Propriedades mistas: Sejam f:XtoY uma aplicação. Assim:

  1. Para todo A subsetX, tem-se que A subsetf −1(f(A)).

  2. Para todo V subsetY, tem-se que f(f −1(V)) subsetV

  3. Se f é injetiva, então para todo A subsetX, tem-se que f −1(f(A))=A.

  4. Se f é sobrejetiva, então para todo V subsetY, tem-se que f(f −1(V))=V.

  5. Se f é bijetiva, então para todo A subsetX e para todo V subsetY, tem-se que: f −1(f(A))=A e f(f −1(V))=V.

Construída por Ulysses Sodré.