Explicitando conjuntos

  1. Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em A×B que está apresentada no gráfico.

    Qual resposta mostra a relação R de forma explicita?

    a. R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)}  b. R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}
    c. R={(a,1),(b,3),(c,2)}        d. R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}
    
  2. Para a mesma relação R do exercício anterior, qual alternativa é a relação inversa R–1?

    a. R–1={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}  b. R–1={(1,a),(4,a),(3,b),(2,c)}
    c. R–1={(4,a),(2,c),(3,b)}        d. R–1={(1,a),(2,c)}
    
  3. Sejam os conjuntos A={a,b,c,d,e} e B={2,4,6,8,10} e a relação R, mostrada no gráfico.

    Quais são as formas explícitas da relação R e da relação inversa R–1?

  4. Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de números reais e a relação definida por R={(x,y)inA×B: y=2x–1}. Qual dos gráficos cartesianos abaixo, representa a relação R?

  5. Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A×B: y=x(x–1)} definida sobre A×B. Escrever R de uma forma explicita e construir o gráfico cartesiano desta relação.

  6. Seja A={1,2,3,5,7}. Analisar o gráfico cartesiano da relação R em A×A e responder às questões pertinentes a esta relação.

    Qual das alternativas abaixo é verdadeira?

    1. (2,3)notinR, (5,1)inR, (7,7)inR

    2. (1,1)inR, (3,5)inR, (5,1)notinR

    3. (1,1)inR, (5,5)notinR, (3,5)inR

    4. (2,3)inR, (3,5)inR, (7,7)inR

Domínio, contradomínio, imagem, relações direta e inversa

  1. Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} definida sobre o conjunto A={1,2,3,5,7}, responda qual das alternativas abaixo representa o contradomínio da relação R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

    a. CoDom(R)={1,2,3,5,7}   b. CoDom(R)={1,3,5,7}
    c. CoDom(R)=R             d. CoDom(R)={3,5,7}
    
  2. Seja a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} definida sobre A={1,2,3,5,7}. Qual alternativa representa o domínio de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

    a. Dom(R)=R          b. Dom(R)={2,5,7}
    c. Dom(R)={1,2,7}    d. Dom(R)={1,2,3,5,7}
    
  3. Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,7),(5,1),(7,7)} definida sobre A={1,2,3,5,7}, qual das alternativas representa a imagem de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

    a. Im(R)={1,2,3,5,7}   b. Im(R)={1,3,5,7}  
    c. Im(R)={1,3,5}       d. Im(R)=R
    
  4. Sejam A={2,4,6,8}, B={1,3,5,7} e a relação R em A×B apresentada pelo seu gráfico cartesiano.

    Identifique se cada afirmação é V (verdadeira) ou F (falsa).

    a. (2,1) pertence à relação R.   b. (3,2) pertence à relação R.
    c. (4,3) pertence à relação R.   d. (5,6) pertence à relação R.
    e. (8,7) pertence à relação R.
    
  5. Usando as informações do exercício anterior, apresente o contradomínio da relação R e a inversa da relação R, denotada por R–1.


    Aqui, denotamos o conjunto dos números naturais por N={1,2,3,4,5,6,7,...}.

  6. Qual dos ítens abaixo representa o domínio da relação R={(x,y)inN×N: 2x+y=8}?

    a. {8}   b. N   c. {1,2,3}   d. {2,4,6}
    
  7. Qual das respostas representa o contradomínio da relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}?

    a. {1,3,5,7} b. {0,1,2,3,4,5,6,7} c. {0,2,4,6} d. N
    
  8. Qual das alternativas abaixo representa a imagem da relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}.?

    a. {1,3,5,7}   b. {2,4,6}   c. Ø   d. N
    
  9. Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. A relação inversa denotada por R–1 está indicada em qual das alternativas?

    a. {(6,1),(4,2),(2,3)}   b. Ø   c. {(1,6),(2,4),(3,2)}   d. N
    

Relações reflexivas, simétricas, transitivas e anti-simétricas

  1. Seja A={1,3,8} e as relações abaixo, definidas sobre A. Quais das alternativas indicam a ocorrência da propriedade reflexiva?

    a. R1={(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(8,1)}
    b. R2={(1,1),(3,1),(1,8),(3,3),(8,8)}
    c. R3={(3,1),(3,3),(5,8),(1,1),(8,8)}
    d. R4={(8,8),(3,3),(1,8),(3,1),(1,1)}
    e. R5={(8,8),(3,3)}
    
  2. Dadas as relações definidas sobre C={1,3,5}, qual delas alternativas mostra uma relação simétrica?

    a. R1={(1,3),(5,3),(5,5),(3,5)}   b. R2={(1,3),(3,1),(5,5),(1,5)}
    c. R3={(3,1),(3,3),(5,5),(5,1)}   d. R4={(1,1),(3,3),(5,5)}
    
  3. A relação R={(1,3),(3,3),(2,4),(3,1),(2,3),(3,2)} definida sobre A={1,2,3,4,5} é simétrica?

  4. Qual das relações indicadas abaixo é uma relação transitiva?

    a. Ra={(2,6),(6,8),(8,2)},conjunto A={2,6,8}.
    b. Rb={(1,3),(3,4),(1,2)},conjunto B={1,2,3,4}.
    c. Rc={(1,3),(3,5),(1,5)},conjunto C={1,3,5}.
    d. Rd={(1,2),(2,3),(3,2)},conjunto D={1,2,3}.
    
  5. Dado o conjunto A={1,3,8} e as relações sobre A listadas abaixo, indique qual alternativa mostra uma relação anti-simétrica. Justifique porque as outras relações não são anti-simétricas.

    a. R1={(1,3),(3,1),(8,1)}        b. R2={(1,8),(8,8),(1,3),(8,1)}
    c. R3={(3,3),(1,8),(8,8),(8,1)}  d. R4={(8,8),(1,3),(8,1),(1,1)}
    

Definição de função

  1. Quais dos diagramas melhor se encaixa na definição de uma função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.

  2. Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.

  3. Dada a função real f(x)=2x+3 definida sobre o conjunto A={1,2,3,4}, apresente o conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f.

  4. Dada a função f:RtoR definida por f(x)=2x-7 se x<2 e f(x)=3 se x>2, determinar os valores de: f(0), f(–4), f(2) e f(10).

  5. Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(–3), f(2) e f(10), se a função de R×R está definida por f(x)=x²–4x+7?

    a. {67,3,4,7}  b. {0,–3,2,10}  c. {7,28,3,67}  d. {10,2,–3,0}
    
  6. Calcular os valores: f(3), f(1), f(0) e f(–10), para a função real f=f(x) definida por:

Zeros de funções

  1. Por definição, zero de uma função é o ponto do domínio de f onde a função se anula. Definidas as quatro funções: f(x)=3x–8, g(x)=2x+6, h(x)=x–1 e i(x)=15x–30, qual dos conjuntos contém os zeros de todas as funções.

    a. {–8,2,–1,–30}   b. {8/3,–3,1,2}  
    c. {–8/3,2,–1,–2}  d. {2,8/3,3,30}
    
  2. Se uma função do primeiro grau é da forma f(x)=ax+b tal que b=–11 e f(3)=7, obtenha o valor da constante a.

  3. Usando f(x)=ax+b e sabendo-se que f(–2)=8 e f(–1)=2, obter os valores de a e b.

  4. Obter a função f(x)=ax+b tal que f(–3)=9 e f(5)=–7. Obtenha f(1) e o zero desta função.

  5. Para a função real definida por f(x)=x²+2x–3, obtenha: f–1(5), f–1(0), f–1(–3) e f–1(x+3)

  6. Para a função real f(x)=2x+4, qual é o conjunto f–1(8)?

  7. Dada a função real f(x)=–x²+6x+3, determinar o conjunto f–1(8)?

  8. Dada a função real f3(x)=x³, qual é o conjunto f–1(8)?

  9. Uma sequência real é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Seja a sequência real definida por f(x)=2x–1 se x é ímpar e f(x)=2x se x é par, cujo gráfico é dado por

    Obter os valores de f(2), f(3), f(5), f–1(8) e f–1(3/2)

  10. Qual dos gráficos representa uma função sobrejetora?

  11. Qual dos gráficos representa uma função injetora?

  12. Seja a função f definida sobre o conjunto A={x,y,z} com imagem em B={1,2,3}. Qual das alternativas contém os pares ordenados (x,y) de elementos em A×B que representam uma função bijetora (injetora e sobrejetora).

    a. {(x,3),(y,1),(z,2)}   b. {(x,1),(y,2),(x,3),(z,1)}
    c. {(y,2),(x,2),(z,3)}   d. {(x,1),(y,3),(z,2),(z,1)}
    
  13. Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x–12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.

  14. Quais das funções plotadas abaixo são sobrejetoras?

    a. f(x)=–x+3  b. f(x)=3  c. f(x)=x³–1  d. f(x)=–x²–1
    


Funções Compostas

  1. Se f(x)=3x–5, g(x)=x²+2x–3 e (gof)(x)=g(f(x)), obter (fog)(2), (gof)(–3), (gof)(x) e (fog)(x).

  2. Sejam as funções reais definidas por g(x)= 3x–2 e

    Obter (gof)(1), (fog)(3), (fof)(2) e (gog)(–4).

  3. Dadas as funções f:AtoB e g:BtoC pelo diagrama

    obter a função composta gof:AtoC.

  4. Sobre o conjunto A={a,b,c,d}, definimos as funções

    f={(a,d),(b,c),(c,b),(d,a)}
    g={(a,b),(b,c),(c,d),(d,d)}

    Determinar as compostas gof e fog.

  5. Definidas as funções f, g e h, pelo diagrama:

    determinar fog, goh, hof, gog nos pontos 1, 2 e 3.

  6. Dadas as funções reais f(x)=3x–1 e g(x)=x(x+2), obter gof, fog, gog e fof.

Operações com funções

  1. Por definição (f+g)(x)=f(x)+g(x). Realizar a soma das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f+g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:

    f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
    g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

    Qual alternativa mostra a função f+g?

    a. {(1,7),(2,5),(6,7),(4,6)}   b. {(2,7),(4,5),(6,7),(8,6)}
    c. {(1,7),(2,5),(3,7),(4,6)}   d. {(1,7),(2,5),(6,7),(8,6)}
    
  2. Por definição (f–g)(x)=f(x)–g(x). Realizar a diferença entre as funções f e g é o mesmo que obter os valores de f–g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Sejam as funções reais:

    f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
    g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

    Qual alternativa representa a função f–g?

    a. {(0,–3),(0,1),(0,1),(0,4)}  b. {(1,3),(2,–1),(3,–1),(4,–4)}
    c. {(1,3),(2,1),(3,–1),(4,4)}  d. {(1,–3),(2,1),(3,1),(4,4)}
    
  3. Por definição (f.g)(x)=f(x).g(x). Realizar o produto das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f.g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:

    f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
    g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

    Qual alternativa representa a função f.g?

    a. {(1,7),(4,6),(9,12),(16,5)}   b. {(1,10),(2,6),(3,12),(4,5)}
    c. {(1,10),(4,3),(9,12),(16,5)}  d. {(1,10),(4,3),(3,12),(4,5)}
    
  4. Por definição (f/g)(x)=f(x)/g(x). Realizar a divisão entre as funções f e g é o mesmo que obter os valores de f/g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:

    f={(1,5),(2,3),(3,9),(4,5)}
    g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

    Qual alternativa representa a função f/g?

    a. {(1,1),(1,3/2),(1,3),(1,5)}   b. {(1,1),(2,3/2),(3,12),(4,5)}
    c. {(1,1),(4,3/2),(9,12),(16,5)} d. {(1,1),(2,3/2),(3,3),(4,5)}
    
  5. Determinar f+g, f–g, f.g e f/g, para as funções reais definidas por:

    f={(1,4),(2,5),(3,12),(4,2)}
    g={(1,4),(2,2),(3,3),(4,6)}

Gráficos de funções

  1. Observe os gráficos e relacione os mesmos com as respectivas funções:

    a. f(x)=x³–4   b. g(x)=5   c. h(x)=2x+3   d. t(x)=x²–2
    
  2. Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento.

    a) f(x)=x³ b) g(x)=x² c) h(x)=3x–15 d) f(x)=–2x
  3. Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento.

    a) f(x)=–x²+4x–4 b) g(x)=3/x c) h(x)=2
  4. Analisar as funções apresentadas e identificar os seus respectivos domínios. Aqui estamos usando R[z] para a raiz quadrada de z>0.

    1. f(x)=4/(x–5)

    2. g(x)=R[x+3]

    3. h(x)=14x–12

    4. f(x)=3x+5x1/3–4

    5. g(x)=8x–3x²–16

  5. Determinar a imagem para cada função:

    a) f(x)=x+1 b) g(x)=3 c) h(x)=x²+2
  6. Determinar as imagens para as funções: f(x)=sen(x) e g={(–2,–2),(–1,2),(0,4),(1,1),(2,3),(3,3)}.

  7. Qual é a imagem da função f(x)=(x–1)(x–5) definida sobre o conjunto D={1,2,3,4,5} que é o domínio de f.

  8. Construir um esboço gráfico para cada função:

    a. f(x)=|x–2|  b. f(x)=|x|+3  c. f(x)=|x+2|–2
    
  9. Sejam as funções f(x)=2x–4 e g(x)=3x+a. Se f(1)–g(0)=6, quanto vale f(2)+5g(7)=?

    a. –8    b. 65    c. 0    d. 13
    
  10. O vértice de uma função quadrática (do segundo grau) da forma f(x)=ax²+bx+c pode ser obtido por:

    onde delta=b²–4ac é o discriminante da função f. Para cada uma das funções abaixo, obtenha o vértice da parábola.

    a. f(x)=x²–10x+21  b. g(x)=x²–2x  c. h(x)=x²–1  d. m(x)=x²+14x+49
    
  11. Os zeros de uma função quadrática f(x)=x²+bx+c são p=–7 e q=–1. Obter o vértice da parábola que representa o gráfico desta função.

  12. Os zeros da função quadrática f(x)=ax²+bx+c, são p=2 e q=1 e seu vértice está em (3/2,–1/4). Qual é a respectiva função?

Construída por Daiane A. M. Morais, Sônia Ferreira Lopes Toffoli e Ulysses Sodré.