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20/4/2024 - 10:13:6
AULA
18T "INTERSEÇÃO DE SUPERFÍCIES" |
VEJA
ESTA PÁGINA :
SEM FRAMES
Nesta
aula você aprenderá a encontrar a linha de inteseção
de duas superfícies, a classificar o tipo de interseção
e além disso verá alguns exemplos de estruturas
arquitetônicas compostas por interseções de
superfícies.
MÉTODO
GERAL PARA ENCONTRAR A LINHA DE INTERSEÇÃO |
Sejam
duas superfícies C (cônica) e E (esférica) que se intersectam
na linha I.
O método geral para achar
a intersecção de duas superfícies consiste em cortar ambas por
outra auxiliar a (plano da figura abaixo).
Depois, achar as interseções
(a e b) do plano auxiliar com as superfícies dadas. Os pontos
de interseção M e N de a e b são comuns às duas superfícies e
pertencerão, portanto, à interseção i.
Repetindo esta construção
com outras superfícies auxiliares (outros planos) cada um desses
planos determinarão novos pontos que, unidos ordenadamente, nos
darão a interseção procurada. A superfície auxiliar deve cortar
as superfícies dadas segundo linhas simples e fáceis de determinar
(por exemplo: retas, círculos de plano normal ou paralelo ao de
projeção etc.) A superfície auxiliar cortante mais utilizada
é o plano, mas às vezes também se empregam as cilíndricas e as
esféricas.
Na
figura abaixo é representado um prisma P cortado por quatro cilindros
de bases circulares, para que se possa visualizar os orifícios
produzidos no prisma e as curvas de entrada e saída resultantes
da interseção. Os diversos casos de interseção de superfícies
podem ser agrupados seguindo os tipos determindos a partir do
exemplo abaixo.
1.
Tangencial
2. Parcial
3. Total
4. Mútua ou Máxima
1.
A tangencial é
uma interseção caracterizada pelas curvas de entrada e saída
serem tangentes em um ponto T e terem em comum o dito ponto T
(ponto duplo). O plano tangente às duas superfícies em T, se existe,
contém as tangentes a ambas curvas no dito ponto. Daí, seu nome.
2. A parcial é
uma interseção caracterizada por cada superfície cortar parcialmente
a outra. A curva de interseção é uma linha contínua quebrada
ou curva. Na figura onde o cilindro corta parcialmente o prisma,
algumas de sua geratrizes são exteriores ao prisma e reciprocamente.
As curvas de entrada e saída são quebradas e se unem nos pontos
A e B formando uma só linha.
3. A total é
uma interseção caracterizada por uma das superfícies penetrar
na outra, atravessando-a por completo. A interseção se compõe
de uma curva de entrada (C1) e outra de saída (C2),
distintas e independentes entre si, podendo-se aplicar esses nomes
a uma e outra indistintamente.
4. A mútua ou máxima é
caracterizada pelas curvas de entrada e saída terem dois pontos
comuns (T1 e T2) e serem tangentes em dois
pontos, sendo portanto, uma penetração tangencial dupla. Assim,
como nos outros casos de penetração, somente uma das superfícies
penetra toda na outra, neste caso a penetração é recíproca e ao
mesmo tempo máxima. É o único caso de penetração mútua.
ALGUNS EXEMPLOS DE INTERSEÇÕES
NA ARQUITETURA |
Como
aplicação imediata de interseções de superfícies de revolução,
exporemos alguns casos de frequente uso em arquitetura. Construções
projetadas para cubrir ou fechar um espaço como abóbodas e cúpulas
ou para dar luz a estas coberturas como os lunetos, são,
muitas vezes, compostas por interseções de superfícies.
O 'Luneto"
é uma abóboda pequena, aberta em outra maior ou principal, com
a função de dar luz a esta. Dependendo de sua abóboda, o luneto
pode ser cilíndrico, cônico ou esférico, e dentro de sua abóboda,
reto ou oblíquo, segundo seu eixo seja normal ou oblíquo ao eixo
da abóboda principal.
Exporemos
abaixo várias figuras as quais ilustram o luneto cilindrico
reto, luneto cilindrico obliquo, luneto cônico, luneto esférico,
a abóboda vazada e a cúpula bizantina.
Observamos
na figura abaixo a abóboda semicilíndrica reta (abóboda principal)
de eixo (e) paralelo ao plano horizontal de projeção e dois lunetos
determinados por uma abóboda semicilíndrica de eixo (f) perpendicular
ao eixo da abóboda principal.
A
superfície acima é caracterizada pela interseção do tipo penetração,
na qual o luneto penetra totalmente na abóboda semicilíndrica,
portanto temos duas curvas (1 e 2): uma de entrada e outra de
saída. Essas duas curvas podem ser visualizadas em vermelho.
Iniciando
a representação das tres vistas (superior, frontal e lateral)
procedemos da seguinte maneira. Desenha-se primeiro as duas abóbodas
semicilíndricas.
Para
encontrar os pontos das duas curvas de interseção é preciso empregar
planos auxiliares horizontais que cortem ambos cilindros segundo
suas geratrizes. Primeiro são traçados dois planos horizontais
(a e b). Estes dois planos são chamados de "planos
limites" porque eles passam pelo início e fim da linha de interseção.
Esses
dois planos intersectam os dois cilindros determinando seções.
Na interseção dessas seções tem-se os "pontos limites".
Na
figura abaixo é possível visualizar os "pontos limites" A, B,
C, D, E e F.
Utilizando
planos auxiliares intermediários é possível encontrar pontos limites
intermediários. A posição desses planos intermediários pode ser
definida pela divisão do arco AF ou BE em 3 ou mais partes iguais.
Ligar
os pontos obtendo assim, a linha de interseção.
DESENVOLVIMENTO
DA SUPERFÍCIE
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Parte
1
|
Parte
2
|
LUNETO CILÍNDRICO OBLÍQUO |
É
determinado pelo semicilindro de diâmetro menor ao cortar obliquamente
a abóboda principal de diâmetro maior. A linha de interseção
é determinada como no Luneto Cilíndrico Reto.
Quando as abóbodas são de mesmo diâmetro a penetração é máxima
e resulta nos seguintes casos particulares:
1 - Abóboda Acoplada: é obtida a partir do
encontro de duas abóbodas cilíndricas de mesmo diâmtro cujos
eixos se cortam obliquamente. A interseção i1 -
i2 é uma elipse que se projeta verticalmete no plano
vertical de projeção segundo a circunferência de centro 02.
2 - Cúpulas de Lunetos: é formada por lunetos de mesmo
diâmetro cujos eixos se cortam obliquamente em um ponto. Na
figura abaixo a cúpula é constituida por três semicilindros
de mesmo comprimento, situados em um plano horizontal e que
se cortam. Os semi-eixos de cada luneto são os apótemas do hexágono
regular da planta. A interseção dos semicilindros são curvas
elípticas.
É
determinado pela superfície cônica circular ao cortar uma abóboda
cilíndrica circular.
É
determinado pela superfície esférica ao cortar uma abóboda cilíndrica
circular.
É
determinado pela interseção de uma semi-esfera cuja base está
situada em um plano horizontal, com um prisma reto quadrangular
cuja base é um quadrado inscrito no círculo máximo da esfera.
As faces verticais do prisma cortam a esfera segundo semicírculos
que se projetam horizontalmente sobre os lados do quadrado e verticalmente
segundo as semi-elipses.
Dentro
deste tipo de abóbodas se encontram a retangular, se a base do
prisma é retangular e a "cúpula de Bohemia", produzida por um
prisma cuja base é um quadrado menor que o círculo máximo da semi-esfera.
Esta cúpula também é chamada de "4 pontas".
É
formada por uma abóboda vazada e uma semi-esfera.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS |
ASENSI,
Fernando Izquierdo (1990). Geometria Descriptiva.
Madrid: Editorial Dossat, S.A. 597p.
ASENSI, Fernando Izquierdo (1990). Ejercicios de Geometría
Descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, S.A. 505p.
CHAPUT,
Frère Ignace (1957). Elementos de Geometria.
Rio de Janeiro: F. Briguet & CIA. Editores. 15a
ed. 577p.
MACHADO,
Ardevan. Desenho Aplicado à Engenharia e Arquitetura.
São Paulo.
Página
construída por Maria Bernadete Barison (Profa. do
Depto. de Mat-UEL). Versão para impressão construída por Junior Francisco Dias (aluno de Matemática - UEL).
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