ANIMAÇÕES
DOS EXERCÍCIOS
(Coloque o cursor sobre as setas):
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ABAIXO: a explicação "passo a passo".
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FRAMES
1. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA ELIPSE
SENDO DADOS O EIXO MAIOR E O MENOR. |
Sejam
os eixos AA' e BB' dados que se intersectam no ponto O (centro
da elipse).
Coloque
a ponta seca do compasso no ponto B e com abertura igual à
OA trace um arco que corte o eixo AA' , encontrando assim os pontos
F e F' (focos da elipse).
Os
pontos F e F' são os focos da elipse.
2. ENCONTRAR O EIXO MENOR DE UMA
ELIPSE SENDO DADOS O EIXO MAIOR E A DISTÂNCIA ENTRE
OS FOCOS. |
Sejam dados
o eixo AA' e a distância focal FF'.
Trace
a mediatriz de AA' encontrando assim o centro O da elipse.
Centre a ponta seca do compasso
no ponto F e com abertura igual à OA trace um arco que
corte a reta mediatriz nos pontos B e B'.
O
eixo menor procurado é o segmento BB'.
3. ENCONTRAR O EIXO MAIOR DE UMA
ELIPSE SENDO DADOS O EIXO MENOR E A DISTÂNCIA ENTRE
OS FOCOS. |
Seja
o eixo menor BB' e a distância focal FF' dados que se intersectam
no ponto O (centro da elipse).
Prolongue
o segmento FF' para a esquerda e para a direita.
Coloque
aponta seca do compasso em O e com abertura igual à distância
FB trace um arco que corte a reta que passa por FF' em A e A',
encontrando assim o eixo maior da elipse.
4. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO
MÉTODO DO JARDINEIRO (BARBANTE) SENDO DADOS O EIXO
MAIOR E OS FOCOS. |
Sejam
dados o eixo maior AA' e a distância focal FF'.
Corte
um barbante que tem por comprimento a distância do eixo
maior AA' e fixe-o em F e F'. Coloque a ponta do lápis
no ponto B tomando o cuidado de esticcar o barbante.
Movimente
o lápis sempre com o barbante esticado de forma a marcar
vários pontos no papel.
Em
seguida trace a elipse movimentando o lápis que se encontra
preso no ponto B do barbante.
Este
processo do jardineiro é assim chamado por que pode ser
utilizado na construção de elipses em jardins e
outras áreas maiores com o uso de barbante e estacas.
5. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO
MÉTODO DE "SCHOOTEN" (TIRA DE PAPEL)
SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. |
Sejam
dados os eixos AA' e BB'. Corte uma tira de papel como indicado
abaixo, e marque nela os pontos P, A e B. O segmento PB deve ser
igual ao eixo maior e o segmento PA deve ser igual ao eixo menor.
Coloque
a tira de papel posicionada de tal forma que o ponto A fique sobre
o eixo AA' e o ponto B fique sobre o eixo BB' e marque um ponto
onde estiver o ponto P.
Mude
a posição da tira de papel, mas tomando o cuidado
de deixar o ponto A sempre sobre o eixo AA' e o ponto B sempre
sobre o eixo BB'.
Assim
vá mudando sucessivamente a posição da tira
e marcando os pontos da elipse.
Ao marcar
todos os pontos, trace a elipse.
Ao
ligar todos os pontos teremos a elipse.
6. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO
DOS PONTOS SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. |
Sejam
os eixos AA' e BB' dados.
Encontre
os focos F e F'.
Marque
a partir do ponto F os pontos 1, 2, 3, 4, 5 e a partir do ponto
F' os pontos 1', 2', 3', 4' e 5'.
Coloque
a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a 1'A'
, 2'A', 3'A', 4'A' e 5'A' trace cinco arcos.
Com
centro em F' e abertura 1A , 2A, 3A, 4A e 5A trace os arcos.
Com
centro em F' e abertura 1A' , 2A', 3A', 4A' e 5A' trace arcos
que cortam os anteriores encontrando assim os pontos da elipse.
Com
centro em F e abertura 1'A , 2'A, 3'', 4'A e 5'A trace arcos que
cortam os anteriores encontrando assim os pontos da elipse.
Ligue
os pontos encontrados traçando assim a elipse.
7. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO
DOS CÍRCULOS PRINCIPAIS SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. |
Sejam
os dois eixos AA' e BB'. Encontre os Focos F e F'.
Trace
um dos círculos principais: centre o compasso no ponto
O e trace uma circunferência de raio OA.
Trace
o outro círculo principal com centro em O e raio OB.
Divida
o círculo maior em n partes iguais (N = 16, por exemplo).
Divida
o círculo menor no mesmo número de partes. Em seguida,
trace retas perpendiculares ao eixo AA' pelos pontos que dividem
a circunferência maior.
Em
seguida trace retas perpendiculares ao eixo BB' pelos pontos que
dividem a circunferência menor.
Na
interseção das retas temos os pontos da elipse.
Ligue
os pontos para obter a elipse.
Veja
a elipse construída.
8. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO
DO PARALELOGRAMO. |
Sejam
os dois eixos AA' e BB' da elipse inscrita no paralelogramo que
tem os lados iguais aos eixos maior e menor da elipse: AA' e BB'.
Trace
o paralelogramo PQRS.
Divida
o lado RS em seis partes iguais.
Divida
o lado PQ em seis partes iguais transportando os pontos 2, 1 e
1', 2' (com o uso dos esquadros) fazendo paralelas aos lados PS
e QR.
Divida
os segmentos OB e OB' em três partes iguais cada um.
Então,
temos no paralelogramo os lados SR e PQ divididos em 6 partes
iguais e o segmento BB' em 6 partes iguais.
Para
obter os pontos da elipse ligue o ponto A ao ponto 2''' e o ponto
B ao ponto 3 e prolongue até encontrar o segmento A2'''.
No cruzamento dessas duas retas têm-se um ponto da elipse.
Em seguida, ligue o ponto A ao ponto 1''' e o ponto B ao ponto
4 e prolongue até encontrar o segmento A1'''. No cruzamento
dessas duas retas têm-se mais um ponto da elipse.
Repita
o mesmo procedimento para as outras três partes do paralelogramo
obtendo assim, todos os pontos da elipse.
Veja
a elipse inscrita no paralelogramo.
9. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO
DO RETÂNGULO. |
Trace
os eixos AA' e BB' da elipse inscrita no retângulo cujos
lados são AA' e BB'.
Trace
o retângulo PQRS.
Divida
os lados do retângulo em n partes iguais (no caso n = 6)
Transporte
essas 6 divisões para o eixo BB' e em seguida trace retas
partindo de A' que chegam nos pontos do lado SR e depois trace
retas que partem de A e passam pelas divisões do eixo BB'.
No cruzamento das retas teremos os pontos da elipse.
Ligue
os pontos encontrados obtendo assim a elipse.
10. ENCONTRAR O FOCO DE UMA PARABOLA,
SENDO DADOS O EIXO, A DIRETRIZ E O VÉRTICE. |
Sejam
a diretriz d e o vértice V contido no eixo da parábola.
Centre
o compasso no ponto V e com abertura VO trace um arco que corta
o eixo no ponto F.
As
distâncias OV e VF são semi-parâmetro e a distância
OF é o parâmetro.
11. TRAÇAR A PARÁBOLA
PELO MÉTODO DOS PONTOS, SENDO DADOS O FOCO E A
DIRETRIZ. |
Sejam
dados a diretriz e o foco da parábola. Para construir a
parábola, primeiro encontre o vértice que está
no ponto médio do segmento FO que é a distância
entre o foco e a diretriz.
Marque
pontos no eixo a partir de F (no caso 5 pontos a uma distância
arbitrária).
Trace
retas perpendiculares ao eixo pelos pontos F, 1, 2, 3, 4 e 5.
Centre
a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual à
distância do ponto F até a diretriz, trace um arco
que corte a reta que passa pelo ponto F em dois pontos da parábola.
Depois,
sempre com a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura
igual à distância que vai do ponto escolhido até
a diretriz d, trace arcos que cortem as retas que passam por esses
pontos, encontrando assim os pontos da parábola.
Ligue
os pontos obtendo a parábola (em cor azul).
12. TRAÇAR A PARÁBOLA
PELO MÉTODO DO RETÂNGULO, SENDO DADOS O VÉRTICE,
O EIXO E UM PONTO DA CURVA (ARCO PARABÓLICO). |
Seja
o vértice A e o ponto P da parábola.
Seja
o vértice A e o ponto P da parábola. Trace duas
retas perpendiculares entre si e que passam pelo ponto A. Em seguida,
trace uma reta pelo ponto P que seja perpendicular à reta
horizontal que passa pelo ponto A.
Trace
uma reta paralela àquela que passa pelo ponto P, a uma
mesma distância.
Depois, trace pelo ponto P uma
reta paralela à reta horizontal que passa pelo ponto A,
formando assim o retângulo PP'RR'.
Divida
os lados PR e P'R' em n partes iguais (no caso n = 4).
Divida
os segmentos PQ e QP' em quatro partes iguais.
Trace
retas perpendiculares ao lado RR' pelos pontos 4, 5, 6, 6', 5'
e 4'.
Ligue
o ponto A aos pontos 1, 2, 3 e 1', 2' e 3'.
Na
intersecção das retas têm-se os pontos da
parábola.
Ligue
os pontos obtendo assim a parábola inscrita no retângulo.
A
parábola em cor azul.
13. TRAÇAR AS "ASSINTOTAS"
DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS OS EIXO REAL E IMAGINÁRIO.
|
Sejam
os eixos AA' e BB'.
Trace
por B e B' retas paralelas ao eixo real AA'.
Trace
por A e A' retas paralelas ao eixo imaginário BB'.
Construído
o retângulo, trace as duas diagonais.
Agora,
prolongue as diagonais do retângulo.
As
assíntotas da hipérbole passam pelas diagonais do
retângulo.
14. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA HIPÉRBOLE
SENDO DADOS O EIXO REAL E O EIXO IMAGINÁRIO. |
Sejam
dados os vértices AA' que se encontram no eixo real xx'
e o eixo imaginário BB'.
Centre
o compasso no ponto O (que está na interseção
dos dois eixos) e com abertura igual à distância
AB trace um arco que corte o eixo real nos pontos F e F' encontrando
assim os focos da hipérbole (F e F’).
15. ENCONTRAR O EIXO IMAGINÁRIO
BB' DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS OS FOCOS E O EIXO
REAL AA'. |
Sejam
dados o eixo imaginário BB', a distância focal FF'.
Pede-se encontrar o segmento AA' (vértices da hipérbole)
conhecido por eixo real.
Centre
a ponta seca do compasso no ponto O e com a distância FB
trace um arco que corte o eixo real nos pontos A e A' que são
os vértices da hipérbole.
16. ENCONTRAR O EIXO REAL AA' DE
UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS O EIXO IMAGINÁRIO
BB' E A DISTÂNCIA ENTRE OS FOCOS. |
Sejam
dados a distância focal e o eixo imaginário BB'.
Para
encontrar os vértices AA' da hipérbole, centre a
ponta seca do compasso no ponto B e com raio igual à distância
OF trace um arco que corte o eixo real nos pontos A e A'.
Observe
os pontos A e A' encontrados.
17. TRAÇAR A HIPÉRBOLE
PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. |
Sejam
dados o eixo imaginário BB', os vértices AA' e os
focos FF' da hipérbole.
Marque a partir do ponto F para
a esquerda os pontos 1', 2' e 3'. Marque a partir de F' para a
direita os pontos 1, 2 e 3.
Centre
o compasso no ponto F e com abertura igual à A'1, A'2 e
A'3 trace três arcos.
Proceda
da mesma forma do outro lado centrando o compasso em F'.
Agora
com a ponta seca do compasso em F e com abertura igual a 1A, 2A
e 3A trace arcos que cortam os anteriores encontando assim os
pontos de um ramo da hipérbole.
Proceda
da mesma forma do outro lado centrando o compasso em F'.
Ligue
os pontos obtendo assim os dois ramos da hipérbole.
Observe
os ramos da hipérbole em cor azul.
18. TRAÇAR A HIÉRBOLE
PELO MÉTODO DOS RETÂNGULOS SENDO DADOS OS
EIXOS E UM PONTO DA CURVA (ARCO HIPERBÓLICO). |
Sejam
os vértices A e A' e um ponto P da hipérbole e seus
dois eixos: real e imaginário.
Trace
por P uma paralela ao eixo real e uma paralela ao eixo imaginário
e com os valores PP1 e PP3 construa o retângulo P,P1,P2,P3
encontrando os pontos A e Q' no eixo imaginário.
Trace
pelos pontos A e A' retas paralelas ai eixo imaginário
encontrando R, R', R'' e R'''.
Divida
o segmento P1R em n partes iguais (no caso n = 4). Em seguida
divida os segmentos QP1 e QP2 também em quatro partes iguais.
Transporte
com os esquadros estas divisões para os outros lados paralelos
dos retângulos.
Ligue
o vértice A aos pontos do segmento PP3.
Ligue
o vértice A' aos pontos dos segmentos PR'' e P3R''' encontrando
na interseção das linhas os pontos de um dos ramos
da hipérbole.
Repita
o mesmo procedimento do outro lado para encontrar o outro ramo
da hipérbole. Ligue A' ao pontos de P1P2.
Ligue
A aos pontos de P1R e P2R' e na interseção das linhas
marque os pontos.
Os
dois ramos da hipérbole aparece em cor azul.
Observe
a hipérbole.
19. DETERMINAR O CENTRO, OS EIXOS
E OS FOCOS DE UMA ELIPSE DADA. |
Seja
a elipse dada abaixo.
Trace
uma reta secante que corta a elipse em dois pontos A e B.
Trace
outra reta secante que seja paralela à primeira e corte
a elipse nos pontos C e D.
Encontre
os pontos médios M e M' das cordas AB e CD respectivamente.
Ligue
os pontos M e M' encontrando o diâmetro DD'.
Encontre
o ponto médio O do diâmetro DD'.
Centre
o compasso em O e com um raio arbitrário trace um arco
que corte a elipse em 3 pontos: H, I e J estabelecendo as cordas
HI e IJ da elipse.
O
eixo maior AA' da elipse será a mediatriz da corda IJ o
eixo menor BB' da elipse será a mediatriz de HI.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS |
BRAGA,
Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo
: Ícone. 13° ed. 230 p.
MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e
Elementar. São Paulo: Livraria Francisco Alves, 460p,
1951.
RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados
em Desenho Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389
p.
Desenhos
construídos por Enéias de Almeida Prado (Aluno
do curso de Mat-UEL) e revisada por Maria Bernadete Barison (Profa. do
Depto. de Mat-UEL). |