ANIMAÇÕES
DOS EXERCÍCIOS
(Coloque o cursor sobre as setas):
VEJA ACIMA : resolução
dos exercícios.
VEJA ABAIXO: a explicação
"passo a passo".
VEJA AO LADO: texto para
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1. DIVIDIR O SEGMENTO AB = 5 CM EM
MÉDIA E EXTREMA RAZÃO E INDICAR O
SEGMENTO ÁUREO DE AB E TAMBÉM O SEGMENTO O
QUAL AB É ÁUREO. |
Seja
o segmento AB = 5 cm pertencente à reta s.
Encontre
(M) o ponto médio de AB.
Levante
uma perpendicular r por B.
Centre o compasso em B e com abertura BM trace um arco que corte
a reta r em O.
Ligue
os pontos A e O construindo assim o triângulo retângulo
AOB cujo cateto maior é AB, cateto menor é AB/2 e
hipotenusa é ABv5/2.
Centre o compasso em O e com abertura igual à OB trace um
arco que corta a hipotenusa em C'.
Com
a ponta seca do compasso em A e abertura igual a AC' trace um arco
que corte AB no ponto C transferindo assim, a medida AC' para o
segmento AB.
Para
encontrar o ponto D' que divide o segmento AB em extrema razão,
passe por AO uma semi-reta t .
Centre
a ponta seca do compasso em O e com abertura OB trace um arco que
corte a reta t em D'.
Coloque
a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a AD' trace um
arco que corte a reta s no ponto D transferindo assim, a medida
AD' para a reta suporte do segmento AB.
O
ponto C' divide o segmento AB em média razão pois
a medida AC' é igual a
AB/2 - ABV5/2.
O
ponto D' divide o segmento AB em extrema razão pois a medida
AD' é igual a
AB/2 + ABV5/2
O
segmento AC' é o segmento áureo de AB.
O
segmento AB é o segmento áureo de AD'.
A
proporção áurea é:
C'B/AC'=AC'/AB
e BD'/AB=AB/AD'
em
outras palavras:
"O
segmento menor resultante da divisão está para o maior
assim como o segmento maior está para o segmento todo"
2. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO
SENDO DADO O LADO MAIOR DO RETÂNGULO 5 CM |
Seja
o lado AB = 7 cm e C o ponto que divide o segmento AB em média
razão.
levante
por A uma perpendicular p.
Centre
o compasso em A e com abertura AC trace um arco que corte a reta
p em C.
Com
a ponta seca do compasso em C e abertura AB trace um arco. Depois
coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura AC trace um
arco que corte o arco anterior em D.
Obtemos
assim o retângulo áureo ABCD cujo lado menor é
o segmento áureo do lado maior AB dado.
3. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO
SENDO DADO O LADO MENOR DO RETÂNGULO L=4 CM
|
Seja
AB o lado menor do retângulo
Levante
por B uma perpendicular e com a ponta seca do compasso em B e abertura
igual a BA' trace um arco que corte a perpendicular no ponto A.
Levante
uma perpendicular (r) à reta (s) por A' e encontre o ponto
médio de BA' (M).
Levante
uma perpendicular (t) por A encontrando assim o quadrado de lado
AB.
Com
a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MC trace
um arco que corte a reta (s) em D.
Levante
por D uma perpendicular (u) que corte a reta (t) em E encontrando
assim o retângulo áureo ABED, no qual o lado AB dado
é o segmento áureo do lado BD encontrado.
Veja
a resposta: retângulo ABED cujo lado dado AB é o segmento
áureo do lado maior encontrado BD.
4. INSCREVER UMA ESPIRAL
EM UM RETÂNGULO ÁUREO |
Seja
um retângulo áureo ABCD. Transporte o segmento AC para
o lado AB encontrando o ponto F em AB.
Levante
uma perpendicular ao lado AB por F encontrando o ponto G em CD.
Com a ponta seca do compasso em G e abertura igual à GC trace
o arco CF.
Transporte
o segmento FB para o segmento FG encontrando o ponto I. Levante
por I uma perpendicular encontrando o ponto H em BD. Com a ponta
seca do compasso em I e abertura IF trace o arco FH.
Transporte
o segmento HD para o segmento IH encontrando ponto L. Levante por
L uma perpendicular encontrando o ponto J. Com a ponta seca do compasso
em L e abertura LH trace o arco HJ.
Transporte
o segmento JG para o segmento JL encontrando o ponto R. Levante
uma perpendicular por R encontrando o ponto T. Com a ponta seca
do compasso em R e abertura igual a RJ trace o arco JT.
Transporte
o segmento TI para o segmento TR encontrando o ponto V. Levante
por V uma perpendicular encontrando o ponto U. Com a ponta seca
do compasso em V e abertura igual a VT trace o arco TU.
Transporte o segmento UL para o segmento UV encontrando o ponto
Y. Levante por Y uma perpendicular encontrando o ponto Z. Com a
ponta seca do compasso em Y e abertura igual a YU trace o arco UZ.
Para
encontrar o pólo da espiral trace os segmentos AD e GB.
5. INSCREVER UM PENTÁGONO ESTRELADO
EM UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO 5CM |
Seja
uma circunferência de diâmetros AB e CD.
Com a ponta seca do compasso em B e abertura igual ao raio da circunferência
trace um arco que corte a circunferência nos pontos 1 e 2.
Ligue
os pontos1 e 2 encontrando M o ponto médio do raio. Com a
ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte
o diâmetro AB no ponto E.
Ligue
CE obtendo assim o lado L5 do pentágono
regular inscrito na circunferência.
Para construir o pentágono coloque a ponta seca do compasso
em C e com abertura CE (L5) trace um arco
que corte a circunferência em G e F. Depois coloque a ponta
seca em G e F e com a mesma abertura (L5)
trace mais dois arcos encontrando H e I respectivamente.
Ligando os pontos CHFGIC consecutivamente teremos o pentágono
regular estrelado (pentagrama).
As
diagonais se cruzam nos pontos que as dividem em média e
extrema razão.
6. RELACIONAR A CONSTRUÇÃO
DO PENTÁGONO, DECÁGONO E PENTAGRAMA COM A PROPORÇÃO
ÁUREA. |
Seja
a circunferência de diâmetros AB e CD.
Encontre
M o ponto médio do raio OB e com a ponta seca do compasso
em M e abertura MC trace um arco que corte o raio OA no ponto E.
O
segmento CE é igual ao L5
(lado do pentágono) inscrito na circunferência. O segmento
OE é igual ao L10 (lado do decágono)
inscrito na mesma circunferência.
O triângulo OCM possui lados iguais a R e R/2 e hipotenusa
x=RV5/2.
Então,
a medida OE que é o valor do L10 (lado
do decágono) será igual a: R - RV5/2 que é
o segmento áureo do raio.
Com
o valor L5 é possível encontrar
os vértices CFEGH do pentágono e com o valor L10 é
possível encontrar os vértices CJIFEKNGH do decágono.
Ligando
as diagonais CGEFHC é possível de se traçar
o pentagrama.
A relação
áurea é a seguinte:
1.
O segmento DO = L10 (lado do decágono)
é segmento áureo do raio da circunferência.
2.
As diagonais do pentágono se cortam no ponto que as divide
em média e extrema razão.
7. CONSTRUIR AS SÉRIES VERMELHA
E AZUL DO 'LE MODULOR" |
SÉRIE AZUL
Seja
AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente
levantado sobre a cabeça.
Levante
uma perpendicular por A e marque nela a metade de AB.
Ligue
BC encontrando assim o triângulo ABC de lados AB, AB/2 e hipotenusa
ABV5/2.
Com
a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte
a hipotenusa CB no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso
em B e com abertura até onde o arco cortou a hipotenusa trace
um outro arco que corte o lado AB em D. Trace uma paralela ao lado
CA pelo ponto D encontrando na hipotenusa o ponto E. Temos agora
um novo triângulo BDE.
Repita
o processo e obterá um outro triângulo BFG e assim
sucessivamente dividindo todos os segmentos áureos resultantes
em média razão.
SÉRIE
VERMELHA
Seja
AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente
levantado sobre a cabeça. Divida o segmento AB pela metade
encontrando M o ponto médio de AB. Construa dois triângulos
retângulos nos quais o lado menor é igual à
1/4 do segmento AB. Têm-se os triângulos ACM e MDB.
Siga a mesma construção da série azul, dividindo
AM em média razão (Ponto F). Em seguida divida também
MB em média razão (ponto H). Repita o processo para
encontrar mais divisões áureas.
As
duas séries azul e vermelha se intercalam da seguinte forma:
1.
Os pontos F, M, H, J, .... da série vermelha dividem os segmentos
AD, DF, FH... da série azul pela metade.
2.
Os pontos D, F, H... da série azul dividem os segmentos FM,
MH, HJ...da série vermelha em média razão.
8. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ÁUREO
DE BASE 8 CM E INSCREVER NELE UMA ESPIRAL |
Seja
um pentágono inscrito em uma circunferência de diâmetro
AB.
Considerando
as diagonais CHI do pentágono, obtemos um triângulo
áureo.
Seja
o triângulo áureo CHI, isósceles cujos ângulos
adjacentes à base medem 72 graus e o ângulo oposto
à base mede 36 graus.
Para
iniciar o traçado da espiral, trace a bissetriz do ângulo
CHI (reta s) que corta o lado IF no ponto J. O ponto J é
o vértice do ângulo FJH. Coloque a ponta seca do compasso
em J e trace um arco.
Em
seguida, trace a bissetriz do ângulo JIH. Coloque a ponta
seca em L e trace o arco HI.
Trace
a bissetriz do ângulo IJH. Com a ponta seca do compasso em
N trace o arcoIJ.
Trace
a bissetriz (reta v) do ângulo JLI encontrando P no segmento
JN. Com a ponta seca do compasso em P trace o arco JL.
Trace
a bissetriz (reta x) do ângulo LNJ encontrando Q no segmento
LP. Com a ponta seca do compasso em Q trace o arco LN. Depois trace
a bissetriz do ângulo NPL encontrando o ponto R no segmento
NQ. Co a ponta seca do compasso em R trace o arco NP. E assim sucessivamente
até chegar ao pólo da espiral.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS |
HUNTLEY,
H. E. A Divina Proporção - Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática.
Brasília : Editora Universidade de Brasília, 1985. 178p.
NEUFERT. A Arte de Projetar em Arquitetura.
RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados
em Desenho Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389
p.
Desenhos
e animações construídos por Giuliano Miyaishi Belussi (Aluno do
Curso de Bacharelado em Matemática - UEL - Ago/2004). Orientação:Maria Bernadete Barison.
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