DESENHO GEOMÉTRICO - EXERCÍCIOS DAS AULAS TEÓRICAS


          Boa Madrugada!!! 21/10/2014 - 5:59:43

EXERCÍCIOS  RESOLVIDOS -  "PROPORÇÃO"
ANIMAÇÕES DOS EXERCÍCIOS
(Coloque o cursor sobre as setas):

       VEJA ACIMA : resolução dos exercícios.
       VEJA ABAIXO: a explicação "passo a passo".
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1. DIVIDIR O SEGMENTO AB = 5 CM EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO E INDICAR O SEGMENTO ÁUREO DE AB E TAMBÉM O SEGMENTO O QUAL AB É ÁUREO.

Seja o segmento AB = 5 cm pertencente à reta s.

 

Encontre (M) o ponto médio de AB.

Levante uma perpendicular r por B.

Centre o compasso em B e com abertura BM trace um arco que corte a reta r em O.

Ligue os pontos A e O construindo assim o triângulo retângulo AOB cujo cateto maior é AB, cateto menor é AB/2 e hipotenusa é ABv5/2.

Centre o compasso em O e com abertura igual à OB trace um arco que corta a hipotenusa em C'.

Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual a AC' trace um arco que corte AB no ponto C transferindo assim, a medida AC' para o segmento AB.

Para encontrar o ponto D' que divide o segmento AB em extrema razão, passe por AO uma semi-reta t .

Centre a ponta seca do compasso em O e com abertura OB trace um arco que corte a reta t em D'.

Coloque a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a AD' trace um arco que corte a reta s no ponto D transferindo assim, a medida AD' para a reta suporte do segmento AB.

O ponto C' divide o segmento AB em média razão pois a medida AC' é igual a
AB/2 - ABV5/2.

O ponto D' divide o segmento AB em extrema razão pois a medida AD' é igual a
AB/2 + ABV5/2

O segmento AC' é o segmento áureo de AB.

O segmento AB é o segmento áureo de AD'.

A proporção áurea é:

C'B/AC'=AC'/AB e BD'/AB=AB/AD'

em outras palavras:

"O segmento menor resultante da divisão está para o maior assim como o segmento maior está para o segmento todo"

2. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MAIOR DO RETÂNGULO 5 CM

 

Seja o lado AB = 7 cm e C o ponto que divide o segmento AB em média razão.


levante por A uma perpendicular p.

Centre o compasso em A e com abertura AC trace um arco que corte a reta p em C.


Com a ponta seca do compasso em C e abertura AB trace um arco. Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura AC trace um arco que corte o arco anterior em D.


Obtemos assim o retângulo áureo ABCD cujo lado menor é o segmento áureo do lado maior AB dado.

3. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MENOR DO RETÂNGULO L=4 CM

Seja AB o lado menor do retângulo

 

Levante por B uma perpendicular e com a ponta seca do compasso em B e abertura igual a BA' trace um arco que corte a perpendicular no ponto A.

Levante uma perpendicular (r) à reta (s) por A' e encontre o ponto médio de BA' (M).

Levante uma perpendicular (t) por A encontrando assim o quadrado de lado AB.

Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MC trace um arco que corte a reta (s) em D.

 

Levante por D uma perpendicular (u) que corte a reta (t) em E encontrando assim o retângulo áureo ABED, no qual o lado AB dado é o segmento áureo do lado BD encontrado.

Veja a resposta: retângulo ABED cujo lado dado AB é o segmento áureo do lado maior encontrado BD.

4. INSCREVER UMA ESPIRAL EM UM RETÂNGULO ÁUREO

Seja um retângulo áureo ABCD. Transporte o segmento AC para o lado AB encontrando o ponto F em AB.

Levante uma perpendicular ao lado AB por F encontrando o ponto G em CD. Com a ponta seca do compasso em G e abertura igual à GC trace o arco CF.

Transporte o segmento FB para o segmento FG encontrando o ponto I. Levante por I uma perpendicular encontrando o ponto H em BD. Com a ponta seca do compasso em I e abertura IF trace o arco FH.


Transporte o segmento HD para o segmento IH encontrando ponto L. Levante por L uma perpendicular encontrando o ponto J. Com a ponta seca do compasso em L e abertura LH trace o arco HJ.


Transporte o segmento JG para o segmento JL encontrando o ponto R. Levante uma perpendicular por R encontrando o ponto T. Com a ponta seca do compasso em R e abertura igual a RJ trace o arco JT.

Transporte o segmento TI para o segmento TR encontrando o ponto V. Levante por V uma perpendicular encontrando o ponto U. Com a ponta seca do compasso em V e abertura igual a VT trace o arco TU.

Transporte o segmento UL para o segmento UV encontrando o ponto Y. Levante por Y uma perpendicular encontrando o ponto Z. Com a ponta seca do compasso em Y e abertura igual a YU trace o arco UZ.

Para encontrar o pólo da espiral trace os segmentos AD e GB.

5. INSCREVER UM PENTÁGONO ESTRELADO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO 5CM

Seja uma circunferência de diâmetros AB e CD.

Com a ponta seca do compasso em B e abertura igual ao raio da circunferência trace um arco que corte a circunferência nos pontos 1 e 2.

Ligue os pontos1 e 2 encontrando M o ponto médio do raio. Com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o diâmetro AB no ponto E.

Ligue CE obtendo assim o lado L5 do pentágono regular inscrito na circunferência.

Para construir o pentágono coloque a ponta seca do compasso em C e com abertura CE (L5) trace um arco que corte a circunferência em G e F. Depois coloque a ponta seca em G e F e com a mesma abertura (L5) trace mais dois arcos encontrando H e I respectivamente.

Ligando os pontos CHFGIC consecutivamente teremos o pentágono regular estrelado (pentagrama).

As diagonais se cruzam nos pontos que as dividem em média e extrema razão.

6. RELACIONAR A CONSTRUÇÃO DO PENTÁGONO, DECÁGONO E PENTAGRAMA COM A PROPORÇÃO ÁUREA.

Seja a circunferência de diâmetros AB e CD.

Encontre M o ponto médio do raio OB e com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o raio OA no ponto E.

O segmento CE é igual ao L5 (lado do pentágono) inscrito na circunferência. O segmento OE é igual ao L10 (lado do decágono) inscrito na mesma circunferência.

O triângulo OCM possui lados iguais a R e R/2 e hipotenusa x=RV5/2.

Então, a medida OE que é o valor do L10 (lado do decágono) será igual a: R - RV5/2 que é o segmento áureo do raio.

Com o valor L5 é possível encontrar os vértices CFEGH do pentágono e com o valor L10 é possível encontrar os vértices CJIFEKNGH do decágono.

Ligando as diagonais CGEFHC é possível de se traçar o pentagrama.

A relação áurea é a seguinte:

1. O segmento DO = L10 (lado do decágono) é segmento áureo do raio da circunferência.

2. As diagonais do pentágono se cortam no ponto que as divide em média e extrema razão.

7. CONSTRUIR AS SÉRIES VERMELHA E AZUL DO 'LE MODULOR"

SÉRIE AZUL

Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado sobre a cabeça.

Levante uma perpendicular por A e marque nela a metade de AB.

 

Ligue BC encontrando assim o triângulo ABC de lados AB, AB/2 e hipotenusa ABV5/2.

Com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a hipotenusa CB no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura até onde o arco cortou a hipotenusa trace um outro arco que corte o lado AB em D. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto D encontrando na hipotenusa o ponto E. Temos agora um novo triângulo BDE.

Repita o processo e obterá um outro triângulo BFG e assim sucessivamente dividindo todos os segmentos áureos resultantes em média razão.

SÉRIE VERMELHA

Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Divida o segmento AB pela metade encontrando M o ponto médio de AB. Construa dois triângulos retângulos nos quais o lado menor é igual à 1/4 do segmento AB. Têm-se os triângulos ACM e MDB. Siga a mesma construção da série azul, dividindo AM em média razão (Ponto F). Em seguida divida também MB em média razão (ponto H). Repita o processo para encontrar mais divisões áureas.

As duas séries azul e vermelha se intercalam da seguinte forma:

1. Os pontos F, M, H, J, .... da série vermelha dividem os segmentos AD, DF, FH... da série azul pela metade.

2. Os pontos D, F, H... da série azul dividem os segmentos FM, MH, HJ...da série vermelha em média razão.

8. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ÁUREO DE BASE 8 CM E INSCREVER NELE UMA ESPIRAL

Seja um pentágono inscrito em uma circunferência de diâmetro AB.

Considerando as diagonais CHI do pentágono, obtemos um triângulo áureo.

Seja o triângulo áureo CHI, isósceles cujos ângulos adjacentes à base medem 72 graus e o ângulo oposto à base mede 36 graus.

Para iniciar o traçado da espiral, trace a bissetriz do ângulo CHI (reta s) que corta o lado IF no ponto J. O ponto J é o vértice do ângulo FJH. Coloque a ponta seca do compasso em J e trace um arco.

Em seguida, trace a bissetriz do ângulo JIH. Coloque a ponta seca em L e trace o arco HI.

Trace a bissetriz do ângulo IJH. Com a ponta seca do compasso em N trace o arcoIJ.

Trace a bissetriz (reta v) do ângulo JLI encontrando P no segmento JN. Com a ponta seca do compasso em P trace o arco JL.

Trace a bissetriz (reta x) do ângulo LNJ encontrando Q no segmento LP. Com a ponta seca do compasso em Q trace o arco LN. Depois trace a bissetriz do ângulo NPL encontrando o ponto R no segmento NQ. Co a ponta seca do compasso em R trace o arco NP. E assim sucessivamente até chegar ao pólo da espiral.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção - Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática. Brasília : Editora Universidade de Brasília, 1985. 178p.

NEUFERT. A Arte de Projetar em Arquitetura.

RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

CRÉDITOS

Desenhos e animações construídos por Giuliano Miyaishi Belussi (Aluno do Curso de Bacharelado em Matemática - UEL - Ago/2004). Orientação:Maria Bernadete Barison.

 

1R Retas
2R Ângulos
3R Segmentos

4R Proporção
Construções Fundamentais

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5R Circunferência
6R Tangência
7R Concordância
8R Arcos
9R Cônicas
10R Triângulos
11R Polígonos
12R Malhas