ANIMAÇÕES
DOS EXERCÍCIOS
(Coloque o cursor sobre as setas):
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ACIMA : resolução dos exercícios.
VEJA ABAIXO: a explicação
"passo a passo".
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1. CONSTRUIR UMA MALHA REGULAR QUADRADA
COM CINCO LINHAS E CINCO COLUNAS SENDO DADO O LADO AB
DO QUADRADO. |
Seja
o segmento AB igual ao lado do quadrado.
Construa
um quadrado de lado AB.
Construa
um ângulo reto YÔX.
Seja
D igual ao lado AB que é igual a uma unidade.
Marque nos lados x e y cinco vezes a medida da unidade D (lado
AB).
Construa
um feixe de retas paralelas verticais separadas à distância
D.
Construa
um feixe de retas paralelas horizontais separadas de uma distância
D.
Observe
abaixo a malha quadrada regular (5 x 5).
2. CONSTRUIR
UMA MALHA REGULAR TRIANGULAR COM CINCO LINHAS E CINCO
COLUNAS SENDO DADO O TRIÂNGULO EQÜILÁTRO
ABC. |
Seja
o segmento AB igual ao lado triângulo.
Construa
um triângulo eqüilátero de lado AB.
Tome
as medidas C = altura e A = 1/2 de AB.
Construa
um ângulo reto YÔX.
Marque
nos lados Y e x as medidas C e A respectivamente.
Construa
um feixe de retas paralelas verticais separadas de uma distância
A.
Construa
um feixe de retas paralelas horizontais separadas de uma distância
C.
Marque
os vértices da malha triangular.
Ligue
os vértices da malha triangular.
Observe
na figura abaixo a malha triangular regular 5x5.
3. CONSTRUIR
UMA MALHA REGULAR HEXAGONAL COM TRÊS COLUNAS E TRÊS
LINHAS SENDO DADO O LADO AB DO HEXÁGONO. |
Seja
o segmento AB igual ao lado do hexágono.
Construa
um hexágono regular de lado AB.
Tome
as medidas A, D e C do hexágono regular de lado AB.
Construa
um ângulo reto YÔX.
Marque
nos lados Y e X respectivamente as medidas C e A,D,A.
Construa
um feixe de retas paralelas verticais separadas de distâncias
iguais a A,D,A.
Construa
um feixe de retas paralelas horizontais separadas de uma distância
igual a C.
Marque
os vértices da malha regular hexagonal.
Ligue os vértices entre si formando os hexágonos.
Observe
a malha regular hexagonal.
4.
CONSTRUIR A MALHA SEMI-REGULAR "J" FORMADA POR
UM OCTÓGONO E DOIS QUADRADOS ENTORNO DE UM VÉRTICE
(8,4,4). |
Seja
o segmento AB igual ao lado do octógono.
Construa
um octógono de lado AB.
Tome
no octógono as medidas F,D,F.
Construa
um ângulo reto YÔX.
Marque
nos lados Y e X do ângulo, respectivamente as medidas FD
e FD.
Construa
um feixe de retas paralelas verticais separadas das distâncias
F e D.
Construa
um feixe de retas paralelas horizontais separadas das distâncias
F e D.
Marque
os vértices da malha de forma que fique em cada vértice
da malha um vértice de um octógono e de dois quadrados.
Observe
abaixo a malha semi-regular "J" colorida.
5. DESENHAR A MALHA DUAL DA MALHA
REGULAR QUADRADA. |
Seja
a malha regular quadrada 5x5.
Trace
as diagonais dos quadrados.
Marque
os centros dos quadrados na interseção das diagonais.
Ligue
os centros dos quadrados de forma que essa as retas sejam perpendiculares
aos lados dos quadrados.
A
malha dual da regular quadrada 5x5 será uma regular quadrada
4x4.
Observe
na figura abaixo a malha dual da regular quadrada 5x5 colorida.
6. DESENHAR A MALHA DUAL DA MALHA
REGULAR TRIANGULAR. |
Seja
a malha regular triangular 5x5.
Trace
as bissetrizes de um dos triângulos da malha.
Agora
construa as bissetrizes de todos os triângulos da malha
(desenhe retas paralelas).
Marque
os centros de cada triângulo na interseção
das bissetrizes.
Ligue
os centros de cada triângulo de forma que as retas fiquem
perpendiculares aos lados dos triângulos.
A
malha dual da malha regular triangular (5x5) será uma malha
regular hexagonal (5x5).
Observe
abaixo a malha regular hexagonal 5x5 colorida.
7. DESENHAR A MALHA DUAL DA MALHA HEXAGONAL. |
Seja
a malha regular hexagonal 5x5.
Trace
duas diagonais de um hexágono da malha.
Repita
o processo em todos os hexágonos (desenhar retas paralelas).
Marque
o centro dos hexágonos na interseção das
diagonais.
Ligue
os centros dos hexágonos de forma que as retas sejam perpendiculares
aos lados.
A
malha dual da regular hexagonal (5x5) é uma malha regular
triangular (5x5).
Observe
abaixo a malha dual da regular hexagonal (5x5) colorida.
8. DESENHAR A MALHA DUAL DA MALHA SEMI-REGULAR
"J". |
Seja
a malha semi-regular "J".
Trace
as diagonais de cada quadrado da malha.
Depois
trace duas diagonais de cada octógono da malha.
Na
interseção das diagonais marque o centro de cada
polígono.
Ligue
os centros de cada polígono de forma que esta ligação
seja definida pelos apótemas de cada polígono.
A
malha dual é constituída pela ligação
dos apótemas de cada polígono da malha que lhe deu
origem.
Veja
abaixo a malha dual da malha semi-regular "J" colorida.
9. DEFORMAR A MALHA REGULAR QUADRADA. |
Seja
a malha regular quadrada 5x5.
Divida
um dos lados do quadrado em 4 partes iguais.
Retire
do quadrado um triângulo (metade de um quadrado) e acrescente-o
do lado de fora.
Em
seguida repita o procedimento com o outro lado do quadrado.
Faça
o mesmo com os outros dois lados do quadrado.
Depois
deforme os outros quadrados da malha.
Apague
a malha regular quadrada deixando apenas a sua deformação.
A
figura abaixo representa a deformação colorida da
malha regular quadrada (5x5).
10. DEFORMAR A MALHA REGULAR TRIANGULAR. |
Seja
uma malha regular triangular (5x5).
Retire
uma parte do triângulo e acrescente essa mesma parte do
outro lado de forma que a nova figura tenha a mesma área
do triângulo. No caso a parte retirada é um semicírculo.
Repita
o procedimento nos outros lados do triângulo.
Construa
a nova figura em todos os triângulos da malha.
Apague
a malha regular triangular deixando apenas a sua deformação.
Observe
na figura abaixo a malha regular triangular deformada e colorida.
11. DEFORMAR A MALHA REGULAR HEXAGONAL. |
Seja
a malha regular hexagonal (5x6).
Retire uma parte do hexágono e acrescente essa mesma parte
do outro lado de forma que a nova figura tenha a mesma área
do hexágono. No caso essa parte subtraída do hexágono
é um semicírculo.
Agora,
proceda da mesma maneira com os outros dois lados do hexágono.
Repita
o procedimento com os dois lados restantes.
Copie
a nova figura para todos os outros hexágonos da malha.
Apague
a malha regular hexagonal deixando apenas a sua deformação.
Observe
na figura abaixo a malha regular hexagonal deformada e colorida.
12. DEFORMAR A MALHA SEMI-REGULAR "J". |
Seja
a malha semi-regular "J".
Trace
linhas verticais passando pelos nós da malha (vértices
dos polígonos).
Em
seguida, indique uma direção qualquer para deformar
a malha de forma que ela fique inclinada naquela direção.
Para
inclinar a malha naquela direção trace linhas paralelas
à nova direção e marque com o compasso as
alturas dos nós em uma das linhas.
Ligue
os pontos de forma a obter uma nova malha inclinada.
Apague
a malha original.
Apague
as linhas inclinadas.
Inscreva
a malha inclinada em um retângulo.
Observe
abaixo a malha semi-regular "J" deformada por inclinação.
13. DEFORMAR A MALHA DUAL DA SEMI-REGULAR
"J". |
Seja
a malha dual da semi-regular "J".
Para
deformar a malha, inicie por um dos lados do triângulo
isósceles que compõe a malha. Em um dos lados
desse triângulo retire um semicírculo do triângulo
e o acrescente para o lado de fora de forma que o triângulo
continue com a mesma área.
Em
seguida, faça o mesmo com os outros triângulos
adjacentes.
Trabalhe
agora com o outro lado do triângulo de forma a tirar uma
parte e acrescentar a mesma parte do lado de fora, no caso é
um setor de círculo.
Copie
os triângulos deformados na primeira fila.
Depois
faça o mesmo para as outras duas filas da malha.
Apague
a malha de origem.
Observe
abaixo uma deformação da dual da malha semi-regular
"J".
Seja
uma malha semi-regular dada. Construa as malhas: semi-regular,
dual e deformada.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS |
BARBOSA,
Ruy Madsen (1993). Descobrindo Padrões em Mosaicos. São
Paulo : Atual, 126p.
BARBOSA, Ruy Madsen (1993). Descobrindo Padrões Pitagóricos.
São Paulo : Atual, 126p.
SÁ, Ricardo Cunha da Costa e (1982). Edros. São José dos
Campos.
SCHATTSCHNEIDER, Dóris e WALKER, Wallace (1991). Caleidociclos
de M. C. Escher. Köln : Benedikt Taschen Verlag GmbH.
Página
construída por Maria Bernadete Barison (Profa. do
Depto. de Mat-UEL).
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