DESENHO GEOMÉTRICO - EXERCÍCIOS DAS AULAS TEÓRICAS


          Boa Tarde! 24/10/2014 - 16:6:59

EXERCÍCIOS  RESOLVIDOS -  "TRIÂNGULOS"

ANIMAÇÕES DOS EXERCÍCIOS
(Coloque o cursor sobre as setas):

       VEJA ACIMA : resolução dos exercícios.
       VEJA ABAIXO: a explicação "passo a passo".
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1. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO DE BASE 10 CM E ÂNGULOS ADJACENTES À BASE DE 75° E 45°.

Sejam dados a base AB e os ângulos adjacentes à base.

Primeiro transporte o ângulo de 75° para o vértice A.

Em seguida, transporte o ângulo de 45° para o vértice B, encontrando assim o vértice C do triângulo.

Temos então o triângulo ABC.

2. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO RETÂNGULO EQÜIVALENTE AO TRIÂNGULO DO EX. 1.

Seja a base AB a altura H do triângulo do exercício 1.

Levante por A uma perpendicular r à base AB.

Depois a partir de A, marque a altura H na reta r encontrando assim o vértice C.

Ligue B a C formando assim o triângulo ABC.

O triângulo ABC possui a mesma área que o triângulo do exercício 1.

Ele possui a mesma área porque as bases e as alturas são iguais e é um triângulo retângulo porque possue um ângulo reto CÂB.

3. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO EQÜIVALENTE AO TRIÂNGULO DO EX. 2.

Seja a base AB e a altura do triângulo do exercício 2.

Levante por A uma reta r perpendicular à base AB.

Marque na reta r a altura H encontrando assim o ponto C.

Em seguida, trace por C uma reta s paralela à base do triângulo.

Marque um ponto C' qualquer na reta s e ligue-o ao vértice A.

Depois ligue C' ao vértice B.

O triângulo ABC' possui a mesma área que o triângulo do exercício 2 porque possui a mesma base e a mesma altura.

O triângulo ABC' é obtusângulo porque possui um ângulo obtuso.

4. ENCONTRAR O BARICENTRO, ORTOCENTRO, INCENTRO E CIRCUNCENTRO DO TRIÂNGULO DO EX. 1

BARICENTRO

Seja o triângulo ABC.

Ligue o vértice C ao ponto médio do lado oposto.

Depois ligue os outros dois vértices aos pontos médios do lado oposto. Na interseção estará o baricentro O1.

ORTOCENTRO

Seja o triângulo ABC.

Levante por A uma perpendicular ao lado BC.

Levante pelos outros vértices perpendiculares a cada lado. Na interseção das perpendiculares marque o ortocentro O.

INCENTRO

Seja o triângulo ABC.

Trace a bissetriz do ângulo CÂB (u).

Depois trace as bissetrizes dos outros dois ângulos. Na interseção encontrarás o Incentro O2.

CIRCUNCENTRO

Seja o triângulo ABC.

Trace a mediatriz do lado BC.

Depois trace as mediatrizes dos outros lados. Na interseção das mediatrizes estará o circuncentro O3.

Todos os centros do triângulo:

 

5. CIRCUNSCREVER E INSCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA NO TRIÂNGULO O EX. 3.

Seja o triângulo ABC.

Trace as bissetrizes x, v e u.

Coloque o compasso na intersecção das bissetrizes (O2) e trace a circunferência inscrita.

Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta seca do compasso na interseção das mediatrizes O3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.

Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque a ponta seca do compasso na interseção das mediatrizes O3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.

Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta seca do compasso na interseção das mediatrizes O3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.

6. ENCONTRAR A RETA DE "EULER" DO TRIÂNGULO DO EX. 3.

Seja o triângulo ABC.

Encontre o ortocentro, o baricentro e o circuncentro do triângulo.

Note que esses três centros do triângulo ficam alinhados.

Então trace agora uma reta que passe por esses três centros.

7. ENCONTRAR O TRIÂNGULO "ÓRTICO" DO TRIÂNGULO DO EX. 3

Seja o triângulo ABC.

Trace as alturas s, r e t, encontrando assim o ortocentro.

Marque os pontos P, N, M na interseção das alturas com os lados.

O triângulo órtico é formado pelos pontos PMN.

8. CONSTRUIR O ARCO CAPAZ DE UM SEGMENTO E UM ÂNGULO DADOS.

Trace o segmento AB. Construa o ângulo (65° por exemplo) com vértice no ponto A ou B.

Trace a mediatriz do segmento AB.

Agora, trace o ângulo dado na extremidade e para o lado de baixo do segmento AB.

Trace uma reta perpendicular ao lado do ângulo em B, encontrando o ponto O onde a perpendicular corta a mediatriz.

Centre o compasso em O e com abertura OB ou OA trace o arco capaz do ângulo de 65°.

Veja na figura abaixo que foi escolhido aleatoriamente um ponto C do arco e dele partiram duas retas que passam por A e por B formando assim um ângulo ACB igual a 65°.

Veja na figura abaixo que o ponto C do arco que é o vértice do ângulo ACB foi deslocado para a esquerda. Verifique que o ângulo permanece de igual valor (65°).

Conclui-se então, que este arco capaz é o lugar geométrico dos pontos que enxergam o segmento AB sob um ângulo de 65°.

9. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO SENDO DADOS a, Â, b (3,0; 30 °; 4,5).

São dados o ângulo de 30°, o lado b e o lado a. Desenhe o lado AB.

Depois, coloque a ponta seca do compasso no vértice A, e com qualquer abertura trace um arco que corte AB no ponto F. Coloque a ponta seca do compasso em F e com a mesma abertura corte o arco dado construindo assim o ângulo de 60°. Construa a bissetriz do ângulo de 60° encontrando assim a reta r que passa pelo lado do triângulo.

Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte a reta r no ponto C.

Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte a reta r no ponto C.

Ligue C com B.

10. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO (RETÂNGULO E ISÓSCELES) SENDO DADO A ALTURA 3CM.

Seja h a altura do triângulo retângulo isósceles. Construa uma semi-reta Ar horizontal e na sua extremidade A levante uma perpendicular s.

Coloque a ponta seca do compasso no vértice A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte as duas semi-retas As e Ar. Marque o vértice B em As.

Marque o vértice C em Ar.

Temos então o triângulo ABC.

O triângulo ABC é retângulo isósceles.

11. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO SENDO DADA A ALTURA 3 CM.

Seja a altura h do triângulo eqüilátero. Inicie traçando uma semi-reta vertical Mr.

Em seguida, marque na semi-reta Mr a partir de M a altura h dada, encontrando assim o vértice A do triângulo.

Depois, coloque a ponta seca do compasso no vértice A e com uma abertura qualquer trace um arco que corte a semi-reta Mr. Depois, com a mesma abertura no compasso, coloque a ponta seca onde o primeiro arco cortar a semi-reta Mr e corte o arco anterior em dois pontos.

Em seguida, trace as bissetrizes dos ângulos, obtendo assim dois ângulos de 30°.

 

Agora, trace por M uma perpendicular à semi-reta Mr, encontrando assim os pontos B e C.

Temos então, o triângulo eqüilátero ABC.

Triângulo eqüilátero ABC de altura h.

12. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ISÓSCELES SENDO DADOS a, Â (3,0 ; 45°).

Seja o lado a e o seu ângulo oposto.

Desenhe o lado a encontrando assim os vértices B e C do triângulo.

Centre o compasso no vértice do ângulo de 45° e com abertura qualquer trace um arco que corte os dois lados do ângulo.

Depois, com a mesma abertura, coloque a ponta seca do compasso no vértice B e trace um arco que corte o segmento BC.

Depois coloque a ponta seca do compasso onde o arco cortou o ângulo e com abertura igual á corda trace um arco.

Em seguida, com a mesma abertura, coloque aponta seca do compasso onde o arco cortou o segmento BC e corte o arco.

Ligue o ponto B ao cruzamento dos arcos, transportando assim o ângulo de 45°.

Levante uma perpendicular ao lado do ângulo por B.

Construa a mediatriz do segmento BC, encontrando assim o centro do arco capaz.

Coloque a ponta seca no ponto O e com abertura OB ou OC trace o arco capaz.

Prolongue a mediatriz até o arco encontrando o vértice "A" do triângulo isósceles.

Temos então, o triângulo isósceles de lado a e ângulo oposto ao lado a igual a 45°.

13. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO SENDO DADOS a, Â, b (3,0; 45°; 3,5).

Seja o ângulo de 45°, o lado b e o lado a do triângulo.

Desenhe o segmento BC (lado a).

Construa um arco (qualquer raio) com centro no vértice do ângulo dado e outro de mesmo raio com centro no ponto B.

Construa outro arco no ângulo dado, com raio igual à corda do arco. Em seguida, construa novamente o mesmo arco no arco feito em B.

Desta forma o ângulo de 45° foi transportado para o segmento AB.

Levante uma perpendicular ao lado do ângulo por B.

Trace a mediatriz do segmento BC.

Marque o centro O onde a mediatriz intersecta a perpendicular.

Com centro em C e abertura igual ao lado b, trace um arco que corte o arco de centro O nos pontos A e A'.

Temos então, dois triângulos ABC e A'BC de lados b, a e ângulo oposto ao lado a igual a 45°.

14. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, b, ma (7,0 ; 5,0 ; 3,5).

Seja o lado a, lado b e mediana do lado a do triângulo ABC. Trace o segmento BC (lado a).

Trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto Médio M.

Em seguida, trace um arco com centro em C e raio igual ao lado b do triângulo.

Depois, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC (M) e com abertura igual à medida da mediana do lado a, trace um arco que corta o primeiro, encontrando assim o vértice A do triângulo.

Ligue o vértice C ao vértice A.

Depois ligue o vértice A ao vértice B.

Temos então o triângulo ABC de lados a e b e mediana ma.

15. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, ma, Â (6,5 ; 6,0 ; 45°).

Seja o segmento a, a mediana do lado a e o ângulo de 45°. Desenhe o segmento BC igual ao lado a.

 

Trace a mediatriz do segmento AB encontrando assim o seu ponto médio.

Em seguida, trace um arco que corte o ângulo e depois trace o mesmo arco colocando a ponta seca do compasso no ponto B.

 

Em seguida, trasnporte o ângulo de 45° para o ponto B.

Em seguida, levante uma perpendicular ao lado do ângulo pelo ponto B. Onde a perpendicular intersectar a mediatriz será o centro O.

Agora, coloque a ponta seca do compasso no centro O e com raio OA ou OB trace arco capaz do ângulo dado.

Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio do segmento AB e com abertura igual à mediana trace um arco que corte o arco capaz nos pontos A e A'.

Ligue os vértices A e A' aos vértices B e C obtendo assim os triângulos ABC e A',B,C.

Temos então os triângulos ABC e A'BC.

16. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, hb, ma (7,0 ; 5,0 ; 6,0).

Seja o lado a, a altura do lado b e a mediana do lado a. Desenhe segmento BC (lado a).

Em seguida, trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto médio de BC.

Coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC e com abertura igual à metade de BC trace um arco de 180° (arco capaz do ângulo de 90°). Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura igual à hb trace um arco que corte o arco anterior.

Ligue os pontos B e C ao ponto onde o arco corta o anterior.

Depois, prolongue o cateto menor do triângulo. Coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC e com abertura igual à Ma trace um arco que corta a reta qu epassa por C no ponto A.

Em seguida, ligue o ponto B ao ponto A.

Temos então, o triângulo ABC.

17. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, ha, ma (6,0; 3,0; 5,0).

Seja o lado a, altura e medianas do lado a. Desenhe o lado a.

Seja BC o lado a.

Trace a mediatriz de BC encontrando assim o seu ponto médio Ma.

Trace uma paralela ao segmento BC a uma distância ha de BC.

Coloque a ponta seca do compasso no vértice B e com abertura igual à mediana ma trace um arco que corte a paralela no spontos A e A'.

Ligue os vértices B e C aos pontos A e A' obtendo assim os triângulos ABC e A'BC.

18. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, mb, mc (7,0 ; 6,0 ; 7,0).

Seja o lado a, a mediana do lado b e a mediana do lado c.

Desenhe o segmento BC (lado a) e depois divida a mediana do lado b e a mediana do lado e em três partes iguais.

Coloque a ponta seca do compasso no vértice B e com abertura igual à 2/3 de mb trace um arco. Depois, coloque a pontas eca no vértice C e com abertura igual à 2/3 de mc trace outro arco.

Ligue os vértices B e C à interseção dos arcos e prolongue.

Marque no prolongamento de cada reta, a partir da interseção 1/3 de mb e 1/3 de mc.

Ligue os vértices B e C à extremidades das medianas dos lados e prolongue, encontrando assim o vértice A.

A interseção das medianas é o baricentro do triângulo.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.

MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo: Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.

RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

CRÉDITOS

Página construída por Maria Bernadete Barison (Profa. do Depto. de Mat-UEL).

 

1R Retas
2R Ângulos
3R Segmentos
4R Proporção
5R Circunferência
6R Tangência
7R Concordância
8R Arcos

9R Cônicas

10R Triângulos
18 exercícios

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11R Polígonos
12R Malhas