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Boa Noite! 24/10/2014 - 21:9:12

AULA 12T         "MALHAS"


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DEFINIÇÃO

       Malha é um espaço aberto entre nós de rede. No caso de os nós estarem situados num plano, como os nós se interligam por segmentos de reta, os espaços abertos entre eles tomam a forma de polígonos planos, cujos vértices são os próprios nós da malha. A teia de aranha é um exemplo natural de malha plana com função-solução estrutural. As malhas aleatórias são infinitas, já que um grupo de pontos em um plano define uma malha. Se os pontos não estiverem contidos no mesmo plano, definirão uma rede espacial. As malhas podem ser vistas a cada instante; seja num céu estrelado, numa calçada de pedras, etc. As mais interessantes são as repetitivas, ou seja; as que seguem regras de formação. Não é muito grande o número de malhas repetitivas.

M.C.ESCHER - Pormenor de Metamorfose, XILOGRAVURA, 1939-40 E 1967-68

MALHAS REGULARES

São formadas por apenas um tipo de polígono regular, que podem ser o quadrado, o triângulo regular e o hexágono regular.

   

1. A malha triangular é a mais densa de todas (maior número de vértices em uma mesma área), o que pode ser avaliado considerando-se o somatório das áreas das figuras em torno de um nó.

Construção da malha triangular:

Para desenhar a malha triangular com o lado do triângulo igual a "D" faça um feixe de paralelas com distância "A" = "D"/2 e outro ortogonal com distância "C" = 0,86660 "D". Unindo os pontos conforme indicado na figura, está construída a malha. 

2. A malha quadrada é a que o homem mais utiliza em suas construções. O quadrado não é muito estável, facilmente se deforma em um paralelogramo. Seu uso é tão antigo que uma medida de área refere-se a "quadrados".

Construção da malha quadrada:

Marque um feixe de paralelas separadas entre si de uma distância constante igual a "D". Em seguida, marque um outro feixe de paralelas ortogonal à direção anterior, também separadas a uma distância "D.

A malha hexagonal, utilizada pelas abelhas na construção das colméias, é a que mais facilmente se adapta as formas curvas; sejam curvas planas ou espaciais. Um só hexágono é menos estável que o quadrado, mas a malha hexagonal é quase tão rígida quanto a de triângulos, com a vantagem de ser menos densa.

Construção da malha hexagonal:

Para desenhar a malha hexagonal, numa direção o feixe tem distância constante "C" = 0,86660 "D" e na outra as distâncias são "D"e "A"= "D"/2.

MALHAS SEMI-REGULARES

As malhas semi-regulares são formadas por combinações de polígonos regulares em torno de um ponto (nó).

Existem 21 possíveis combinações de polígonos regulares em torno de um ponto (nó). Estas combinações são mostradas na tabela abaixo.

MALHA N1 N2 N3 N4 N5 N6 ÁREA DENSIDADE
A 3 7 42 - - - - -
B 3 8 24 - - - - -
C 3 9 18 - - - - -
D 3 10 15 - - - - -
E 4 5 20 - - - - -
F 5 5 10 - - - - -
G 3 12 12 - - - 22,8253 0,0438
H 4 6 12 - - - 14,7942 0,0676
J 4 8 8 - - - 10,6569 0,0938
K 6 6 6 - - - 7,7942 0,1283
L 3 3 4 12 - - 13,0622 0,0766
M 3 4 3 12 - - 13,0622 0,0766
N 3 4 4 6 - - 5,0311 0,1988
P 3 4 6 4 - - 5,0311 0,1988
Q 3 3 6 6 - - 6,0622 0,1650
R 3 6 3 6 - - 6,0622 0,1650
S 4 4 4 4 - - 4 0,25
T 3 3 3 4 4 - 4,2990 0,2326
U 3 3 4 3 4 - 4,2990 0,2326
V 3 3 3 3 6 - 4,3301 0,2309
W 3 3 3 3 3 3 2,5981 0,3849

As combinações de A até F não permitem repetições contínuas no plano e as combinações K, S e W referem-se às malhas regulares hexagonal, quadrada e triangular, respectivamente. Para analisar a área em torno de cada vértice de forma a estimar a densidade da malha temos que, em função do lado, as áreas são:

Octógono - 4,82843 L2
Dodecágono - 11,19615 L2
Triângulo - 0,43301 L2
Quadrado - 1,0000 L2
hexágono - 2,59808 L2

1. MALHAS SEMI-REGULARES SIMPLES

Como vemos na tabela acima, temos 15 tipos de vértices capazes de fornecerem malhas planas. Oito vértices podem ser utilizados para construir as chamadas malhas semi-regulares simples por terem mais de um tipo de polígono regular e somente um tipo de nó. Esses oito tipos de malhas são:

Malha Série base ortogonal
G
H
J
P
R
T
U
V
ACA - CACD
ABACDC - ABAD
FDF - FDF
ABAD - ABA
C - A
CD - A
ABA - ABA
C - A

2. MALHAS SEMI-REGULARES DUPLAS

Combinando-se 2 tipos de vértices (de G a W) obtemos as chamadas malhas semi-regulares duplas com mais de um tipo de polígono e dois tipos de vértices.

Malha Série base ortogonal
TS
TW
NR1
NR2
RQ
GM
LW
PU1
PU2
HP
PT
PN1
PN2
UW1
UW2
UW3
DCD - A
CDC - A
CDC - ADA
CDC - A
C - ADA
ACDCA - ACDCA
CABACD - AABAA
ABAAABA - ABEBA
ABA - ABADABA
ABACDCABA - ABAD
DABABA - ABEBA
ABEBBEBA - ABEBADABEBA
ABEBADABEBA - ABABADABABA
ABEBA - ABAAABA
AABAA - ABA
AABAA - ABA

3. MALHAS SEMI-REGULARES TRIPLAS

Combinando-se três tipos de vértices (de G a W) obtemos as chamadas malhas semi-regulares triplas com mais de um tipo de polígono e três tipos de vértices.

Malha Série base ortogonal
TWS
KQW1
KQW2
NRS1
NRS2
VWQ
MLU
LUW
UPT1
UPT2
TWU1
TWU2
TWU3
TWU4
CDDC - A
C - AADAA
C - AADAA
CDDC - ADA
CDDC - A
C - AADAA
AABAAABAA - AABAAABAAABAA
ABACDCABA - AABAA
ABADABA - AABAABAA
AABADABAA - AABAABAA
AABABAA - ABEBA
AABAA - AABAABAA
AABAABAA - AABAABAA
ABEBBEBA - AABEBAABEBAA

Em resumo foram apresentadas:

- 3 malhas regulares K, S, W.
- 8 malhas semi-regulares G, J, H, P, R, U, T, V.
- 11 combinações de 2 vértices formando 16 semi-regulares duplas.
- 8 combinações de 3 vértices formando 14 semi-regulares triplas.

No total são 41 diferentes malhas, que talvez não sejam as únicas, já que não há um método para provar o número limite de combinações possíveis.

CONSTRUÇÃO DE UMA MALHA SEMI-REGULAR

Como no caso das malhas regulares são usados dois feixes de retas paralelas ortogonais. Estas retas paralelas são distanciadas pelos valores:

A = 0,5 D
B = 0,366 D
C = 0,866 D
D = lado do polígono
E = 0,134 D
F = 0,7071 D
G = 0,2887 D
H = 0,5774 D
I = 0,1057 D
K = 0,1830 D
M = 1,0774 D
N = 0,7887 D
P = 0,683 D
Q = 1,183 D
R = 0,3943 D
S = 0,2113 D
T = 0,4717 D
Os valores utilizados em cada malha para
traçar as retas paralelas estão especificados
nas tabelas anteriores (série base ortogonal)

MALHAS DUAIS

As malhas ditas duais são aquelas que têm por nós os centros dos polígonos definidos pelas malhas semi-regulares. As malhas regulares são duais de si mesmas, ou seja; a triangular é dual da hexagonal (e vice-versa) e a quadrada é dual dela própria.

As semi-regulares, seja singular, dupla ou tripla, têm suas próprias duais, com características definidas. São formadas por vértices de mais de um tipo (o número de tipos de nós é igual ao número de polígonos da malha de origem). Como são 15 os tipos de vértices que dão origem às malhas semi-regulares, são 15 os tipos de polígonos especiais "semi-regulares".

Malha dual Série base ortogonal
G
H
J
P
R
T
U
V
(D+C) - M
(A+C)PP(A+C) - Q
(A+F) - (A+F)
RNNR - P
H - D
GNNG - A
GRRG - GRRG
G - A

Malha dual Série base ortogonal
TS
TW
NR1
NR2
RQ
GM
LW
PU1
PU2
HP
PT
PN1
PN2
UW1
UW2
UW3
DNGN - A
NGHGN - A
HNNH - D
HNNH - D
H - D
NMMN - NMMN
IGHGNNGHGI - APPA
PRGAGRP - GRIGIRG
GRPPRG - NRRGGRRN
PP(A+C)(A+C)PP - NRQQRN
NGIBIBIGN - AKAKA
PIBIKKIBIP - NSKAPPAKSN
NSKAPPAKSN - PTSSTNNTSSTP
GSKIGIKSG - GGIRGAGRIGG
GGIIGG - AGRRGA
AGRRGGRRGA - GGRIGGRIGG

Malha Série base ortogonal
TWS
KQW1
KQW2
NRS1
NRS2
VWQ
MLU
LUW
UPT1
UPT2
TWU1
TWU2
TWU3
TWU4
NGHGND - A
G - ADDA
GGGCCGGG - ADDA
HNDNH - D
HNDNH - D
GGHGG - ADDA
Usar como base a malha original
NGHGIIGGGGIIGHGN - APRGAARPA
NGIRGGRIGN - AGRPPRGA
AGRIGNNGIRGA - AGGIPPIGGA
AGGIRGGRIGGA - GSIITIISG
AGRIGGAAGGIRGA - GGIIGGAAGGIIGG
AGGIRGGRIGGA - GGIRGAAGRIGG
Usar como base a malha original

CONSTRUÇÃO DAS MALHAS DUAIS

Como no caso das malhas regulares são usados dois feixes de retas paralelas ortogonais. Estas retas paralelas são distanciadas pelos valores:

A = 0,5 D
B = 0,366 D
C = 0,866 D
D = lado do polígono
E = 0,134 D
F = 0,7071 D
G = 0,2887 D
H = 0,5774 D
I = 0,1057 D
K = 0,1830 D
M = 1,0774 D
N = 0,7887 D
P = 0,683 D
Q = 1,183 D
R = 0,3943 D
S = 0,2113 D
T = 0,4717 D

Os valores utilizados em cada malha para
traçar as retas paralelas estão especificados
nas tabelas anteriores (série base ortogonal)

MALHAS DEFORMADAS

Uma malha plana pode ser deformada. Esta deformação pode ser em relação às suas dimensões em uma das direções, ou em ambas, pode ser também modificada em relação ao ângulo formado entre as direções, seja tirando e acrescentando partes.

Com isso, originam-se novas malhas. Um exemplo são os mosaicos de M. C. Esher. Um mosaico é uma obra constituída por fragmentos justapostos de pedra ou vidro de várias cores, muito utilizado em pavimentação decorativa. Os mosaicos romanos e os bizantinos são os mais famosos e conhecidos. O mosaico geométrico é um arranjo obtido pela combinação de figuras e módulos geométricos, observando padrões de simetria. Deve-se a Kepler as primeiras investigações na teoria da pavimentação do plano euclidiano, com um tratamento matemático para o problema, no seu livro "Harmonia do Mundo", de 1619.

OS PADRÕES DE M. C. ESCHER

    Os trabalhos do artista holandês M. C. Escher (1898-1972) até hoje intrigam os estudiosos da área por sua beleza e singularidade, incomparáveis quanto à sua precisão técnica e conhecimento matemático que expressavam. À primeira vista, muitas de suas obras parecem naturais, mas observando melhor, descobre-se que o que foi tomado como plausível é, na verdade impossível, e o observador é levado a olhar mais uma vez e outra vez, até que descobre as surpresas escondidas que a obra lhe oferece. Como é que Escher fez isso? Ele tinha uma fantasia genial e era um excelente artista na técnica de gravura, mas a chave para os surpreendentes efeitos das gravuras, é a Matemática, ou seja; a Geometria, e tanto a clássica como a moderna. Escher lia ensaios técnicos e correspondia-se com matemáticos e cristalógrafos. Quem conhece a obra de Escher, não pode ficar surpreendido por estas criações só poderem ser possíveis com a ajuda de um matemático e de um designer de artes gráficas. Veja abaixo alguns de seus desenhos periódicos.




REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA, Ruy Madsen (1993). Descobrindo Padrões em Mosaicos. São Paulo : Atual, 126p.

BARBOSA, Ruy Madsen (1993). Descobrindo Padrões Pitagóricos. São Paulo : Atual, 126p.

SÁ, Ricardo Cunha da Costa e (1982). Edros. São José dos Campos.

SCHATTSCHNEIDER, Dóris e WALKER, Wallace (1991). Caleidociclos de M. C. Escher. Köln : Benedikt Taschen Verlag GmbH.

LINKS

Jogo de Mosaicos e exemplos na Arte http://www.tvcultura.com.br/artematematica/ordem.html

Jogo de Simetria e exemplos na Arte http://www.tvcultura.com.br/artematematica/simetria.html

Jogo de Harmonia e exemplos na Arte http://www.tvcultura.com.br/artematematica/harmonia.html

CRÉDITOS

Página construída por Maria Bernadete Barison.

 

1T Retas           
2T Ângulos 
3T Segmentos
4T Proporção 
5T Circunferência
6T Tangência
7T Concordância
8T Arcos
      
    
 

9T Cônicas      
10T Triângulos
11T Polígonos      

12T Malhas
     
Definição
     Propriedades
    
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