1. A malha triangular é a mais densa de todas (maior número de vértices em uma mesma área), o que pode ser avaliado considerando-se o somatório das áreas das figuras em torno de um nó.

Construção da malha triangular:

Para desenhar a malha triangular com o lado do triângulo igual a "D" faça um feixe de paralelas com distância "A" = "D"/2 e outro ortogonal com distância "C" = 0,86660 "D". Unindo os pontos conforme indicado na figura, está construída a malha.

2. A malha quadrada é a que o homem mais utiliza em suas construções. O quadrado não é muito estável, facilmente se deforma em um paralelogramo. Seu uso é tão antigo que uma medida de área refere-se a "quadrados".

Construção da malha quadrada:

Marque um feixe de paralelas separadas entre si de uma distância constante igual a "D". Em seguida, marque um outro feixe de paralelas ortogonal à direção anterior, também separadas a uma distância "D.

A malha hexagonal, utilizada pelas abelhas na construção das colméias, é a que mais facilmente se adapta as formas curvas; sejam curvas planas ou espaciais. Um só hexágono é menos estável que o quadrado, mas a malha hexagonal é quase tão rígida quanto a de triângulos, com a vantagem de ser menos densa.

Construção da malha hexagonal:

Para desenhar a malha hexagonal, numa direção o feixe tem distância constante "C" = 0,86660 "D" e na outra as distâncias são "D"e "A"= "D"/2.

2. MALHAS SEMI-REGULARES DUPLAS

3. MALHAS SEMI-REGULARES TRIPLAS

As malhas ditas duais são aquelas que têm por nós os centros dos polígonos definidos pelas malhas semi-regulares. As malhas regulares são duais de si mesmas, ou seja; a triangular é dual da hexagonal (e vice-versa) e a quadrada é dual dela própria.

As semi-regulares, seja singular, dupla ou tripla, têm suas próprias duais, com características definidas. São formadas por vértices de mais de um tipo (o número de tipos de nós é igual ao número de polígonos da malha de origem). Como são 15 os tipos de vértices que dão origem às malhas semi-regulares, são 15 os tipos de polígonos especiais "semi-regulares".

CONSTRUÇÃO DAS MALHAS DUAIS

Como no caso das malhas regulares são usados dois feixes de retas paralelas ortogonais. Estas retas paralelas são distanciadas pelos valores:

Uma malha plana pode ser deformada. Esta deformação pode ser em relação às suas dimensões em uma das direções, ou em ambas, pode ser também modificada em relação ao ângulo formado entre as direções, seja tirando e acrescentando partes.

Com isso, originam-se novas malhas. Um exemplo são os mosaicos de M. C. Esher. Um mosaico é uma obra constituída por fragmentos justapostos de pedra ou vidro de várias cores, muito utilizado em pavimentação decorativa. Os mosaicos romanos e os bizantinos são os mais famosos e conhecidos. O mosaico geométrico é um arranjo obtido pela combinação de figuras e módulos geométricos, observando padrões de simetria. Deve-se a Kepler as primeiras investigações na teoria da pavimentação do plano euclidiano, com um tratamento matemático para o problema, no seu livro "Harmonia do Mundo", de 1619.

OS PADRÕES DE M. C. ESCHER

    Os trabalhos do artista holandês M. C. Escher (1898-1972) até hoje intrigam os estudiosos da área por sua beleza e singularidade, incomparáveis quanto à sua precisão técnica e conhecimento matemático que expressavam. À primeira vista, muitas de suas obras parecem naturais, mas observando melhor, descobre-se que o que foi tomado como plausível é, na verdade impossível, e o observador é levado a olhar mais uma vez e outra vez, até que descobre as surpresas escondidas que a obra lhe oferece. Como é que Escher fez isso? Ele tinha uma fantasia genial e era um excelente artista na técnica de gravura, mas a chave para os surpreendentes efeitos das gravuras, é a Matemática, ou seja; a Geometria, e tanto a clássica como a moderna. Escher lia ensaios técnicos e correspondia-se com matemáticos e cristalógrafos. Quem conhece a obra de Escher, não pode ficar surpreendido por estas criações só poderem ser possíveis com a ajuda de um matemático e de um designer de artes gráficas. Veja abaixo alguns de seus desenhos periódicos.